[ferbad]

Hola amigos podrían ayudarme con el siguiente ejercicio Muchas gracias a todos por su ayuda

Dados los vectores tales como  \( \vec{E} \) y el \( \vec{O} \) aplicando las propiedades de los productos escalar y vectorial entre vectores demostrar lo siguiente:

     \( [(\vec{E}X \vec{O}) X \vec{E}] . \vec{E} \)=0

Lo que yo puedo deducir es que el vector \( (\vec{E}X \vec{O})X \vec{E}  \) es perpendicular con el vector \( \vec{E} \) porque el producto escalar es 0 . Entoces el vector \( \vec{E}X \vec{O}  \) es paralelo con el vector  \(  \vec{E}  \) porque el producto vectorial es 0. Como el producto vectorial entre  \( \vec{E}  \) y  \( \vec{O}  \) es cero  \(  \vec{E}  \) y  \( \vec{O}  \)  son paralelos. Creo que estoy equivocado porque a lo mejor debería haber aplicado la propiedad asociativa, pero la verdad es que no sé como encararlo

Sin embargo la respuesta del libro es la siguiente, la cual no logro comprender

El vector (E X O) resulta ser perpendicular tanto al vector E como al vector O .
El vector (E X O )X E  es normal tanto al vector  (E X O) con a E

[Masacroso]

El vector \( W:=E\times O \) es perpendicular al plano definido por \( E \) y \( O \), luego el vector \( V:=W\times E \) es perpendicular al plano formado por \( W \) y \( E \), y como \( V\cdot E=|V|\,|E|\cos\alpha \), donde \( \alpha \) es el ángulo formado entre \( V \) y \( E \) obtienes que es cero (ya que \( \alpha=\pi/2 \)).

Tu argumentación falla al decir que \( E\times O \) es paralelo a \( E \), asumes que es necesario que el producto vectorial sea cero, pero en verdad lo que es cero es el producto escalar, y eso se debe a que o bien uno de los vectores es cero o bien es perpendicular al otro. El vector \( E\times O \) está contenido en el plano que contiene a \( E \) y que es perpendicular a \( (E\times O)\times E \), por la definición de producto vectorial (es decir, el producto vectorial de dos vectores es perpendicular al plano que definen).

[ferbad]

Muchísimas gracias usuario  Masacroso Entendí el concepto perfectamente. Lo que te quería preguntar si hay alguna forma de realizar operaciones del lado izquierdo para llegar a 0 en el lado derecho

Vi esta propiedad en internet

\( ( B \times{} C) . A = (A  \times{}  B) . C \)
 
Mi duda es que al  hacer ese cambio de propiedad el resultado final tiene  que ser 0

[Luis Fuentes]

Hola

Muchísimas gracias usuario  Masacroso Entendí el concepto perfectamente. Lo que te quería preguntar si hay alguna forma de realizar operaciones del lado izquierdo para llegar a 0 en el lado derecho

Vi esta propiedad en internet

\( ( B \times{} C) . A = (A  \times{}  B) . C \)
 
Mi duda es que al  hacer ese cambio de propiedad el resultado final tiene  que ser 0

Aplícalo para:

\( A=\vec E,\qquad \vec C=\vec E\times \vec O,\qquad B=\vec E \)

Recuerda también estas dos propiedades:

\( \vec u\times \vec u=0 \)
\( \vec u\times \vec v=-\vec v\times \vec u \)

Saludos.

[Abdulai]

...
Vi esta propiedad en internet

\( ( B \times{} C) . A = (A  \times{}  B) . C \)
 
Mi duda es que al  hacer ese cambio de propiedad el resultado final tiene  que ser 0

Eso se llama producto mixto. Se lo suele escribir  \( \left(ABC\right) \)  y cumple  \( \left(ABC\right)=\left(BCA\right)=\left(CAB\right)=-\left(ACB\right)=-\left(BAC\right)=-\left(CBA\right) \)



También se puede hacer aplicando la identidad  \( \left(A\times B\right)\times C = \left(A\cdot C\right) B - \left(B\cdot C\right) A \)

[ferbad]

\(
A = E
 \)

\(
B= E \times{} O
 \)


\(
C= E 
 \)

Entonces

\(
 [ A \times{} B] . C =0
 \)

\(
 [ E \times{} (E \times{}O) ] . E =0
 \)

Estaría en la misma situación. ¿Cómo podría lograr  el producto vectorial \( E \times{E} \) para obtener el resultado \( 0 \)?

[Luis Fuentes]

Hola

\(
A = E
 \)

\(
B= E \times{} O
 \)

\(
C= E 
 \)

No fue esa mi sugerencia. Fue:

Aplícalo para:

\( A=\vec E,\qquad \vec C=\vec E\times \vec O,\qquad B=\vec E \)

Entonces esto:

\( ( B \times{} C) . A = (A  \times{}  B) . C \)

equivale a:

\( ( \vec E \times{} (\vec E\times \vec O)) . \vec E = (\vec E  \times{}  \vec E) . (\vec E\times \vec O) \)

Saludos.

[ferbad]

Muchas gracias Luis

\(

  (\vec{E} \times{\vec{E}})  . (\vec{E}\times{\vec{O}})

 \)

\(  
 0 . ( \vec{E}\times{\vec{O}} ) =0
 \)

?

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Luis

\(

  (\vec{E} \times{\vec{E}})  . (\vec{E}\times{\vec{O}})

 \)

\(  
 0 . ( \vec{E}\times{\vec{O}} ) =0
 \)


?

¿Cuál es la pregunta?. Resumiendo:

\( ( (\vec E\times \vec O)\times \vec E) . \vec E=( -\vec E \times{} (\vec E\times \vec O)) . \vec E =-( \vec E \times{} (\vec E\times \vec O)) . \vec E=- (\vec E  \times{}  \vec E) . (\vec E\times \vec O)=-\vec 0\cdot (\vec E\times \vec O)=0 \)

Saludos.