Hola
Hola, me he encontrado esta desigualdad en un curso de cálculo vectorial, utilizada como un resultado auxiliar y sin demostración (como si fuera una trivialidad). El caso es que he intentado probarlo y me está resultando imposible. La desigualdad es esta:
\( \sqrt{n}||\boldsymbol{x}|| \geq{}\sum_{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert \)
Donde:
i) \( \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} \)
ii) \( \Vert . \Vert \) denota la norma euclídia y
iii) \( \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i \boldsymbol{e}_i \)
Pues depende un poco de lo que puedas usar. Una forma muy directa es aplicar la
desigualdad de Cauchy-Schwarz.
\( |\mathbf{x}\cdot \mathbf y|\leq \|\mathbf x\|\|\mathbf y\| \)
Para:
\( \mathbf{x}=(|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|),\qquad \mathbf{y}=(1,1,\ldots,1) \)
Si no has dados esa desigualdad, también puedes copiar las pruebas conocidas (están algunas en el enlace) específicamente para esos dos vectores.
Otra opción es notar que:
\( 0\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\sum_{j=i+1}^n{}(|x_i|-|x_j|)^2=(n-1)\displaystyle\sum_{i=1}^n{}x_i^2-2\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\sum_{j=i+1}^n|x_i||x_j|=n\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2-(|x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|)^2 \)
Saludos.
