[R_Gauss]

Buen día,
estoy demostrando algunas propiedades de la divisibilidad y me encontré con esta y no sé cómo se puede demostrar:

Si \( a|b \) con \(  b\neq{0} \) entonces \(  |a| \leq{|b|} \)


Agradezco sus colaboraciones,

Saludos,

[manooooh]

Hola

Si \( a|b \) con \(  b\neq{0} \) entonces \(  |a| \leq{|b|} \)

Mirá acá: How to prove: if \( a \) divides \( b \) and \( b\neq0 \) then \( |a|\leq|b| \).

Si tenés dudas no dudes en preguntar así podemos guiarte.

Saludos

[feriva]

Agradezco sus colaboraciones,

Pues mira a ver si te vale también así.

Para más comodidad en la escritura podemos hacer \( |a|=x;\,|b|=y
  \) con x,y positivos mayores que cero (“a” tampoco puede ser cero, por ser el divisor).

Por reducción al absurdo, tomamos \( x>y;\, x=y+k
  \) (donde k>0, evidentemente, por la desigualdad y las condiciones) y suponemos \( x|y
  \).

Entonces, si \( x|y \), implica \( \dfrac{y}{y+k}=z
  \) con z un número natural ; pues numerador y denominador son positivos mayores que cero.

Pero ahora, multiplicando a ambos lados por el divisor “y+k” vemos que \( y=zy+zk
  \); lo cual es falso, pues por ser todos enteros mayores que cero resulta trivialmente \( y-zy\leq0\Rightarrow zk\leq0
  \), contradiciendo las condiciones.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Muy parecida ha las que hay:
Como \( a|b  \) tenemos que existe \( m \in \mathbb{Z}  \) con \( b = a \cdot m  \)
Por ser \( b \neq 0  \) entonces \(  a \neq 0  \) y \(  m \neq 0  \) entonces:
\(  |b| = |a \cdot m| = |a| \cdot |m| \geq |a| \cdot 1 = |a|  \).