Hola
El primero es falso , que sea continua no implica que sea derivable , podes tomar de contraejemplo \( f(x)=|x| \) en x=0 , es continua pero no derivable, ya que hace un punto pico en x=0
2) tenes que utilizar la definición del valor absoluto ya analizar por tramos la función
Lo he resuelto y es continua y derivable en x=3. Si mi respuesta es "verdadero por que es continua y derivable en el punto x=3". ¿Consideras correcta esta respuesta?
No, está mal.
Fíjate que: \( f(x)=|x^2-3x|=|x||x-3| \) y de ahí se deduce que:
\( f(x)=\begin{cases}{ x^2-3x}&\text{si}& x\leq 0\\3x-x^2 & \text{si}& 0\leq x\leq 3\\x^2-3x & \text{si}& x\geq 3\end{cases} \)
Si intentas calcular la derivada en \( x_0=0 \), por definición sería:
\( f'(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(x)}{x} \)
Debido a que la función está definida a trozos en un entorno del cero distinguimos límite a izquierda y derecha:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\dfrac{x^2-3x}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}x-3=-3 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\dfrac{3x-x^2}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}3-x=3 \)
No coinciden y por tanto el límite no existe y la función no es derivable en \( x_0=0 \). Análogamente puedes ver que NO es derivable tampoco en \( x_1=3 \).
Gráficamente se "ven" los picos de no diferenciabilidad en \( x_0=0 \) en \( x_1=3 \).
Saludos.
