[Asdfgh]

Necesito ayuda con este ejercicio que parece ser de idea feliz:

Probar que, si \( X \) es un espacio normado, para cualesquiera \( x,y\in{}X-\{0\} \) se verifica la siguiente desigualdad:

\( \displaystyle\left\|{\frac{x}{\parallel{x}\parallel}}-\frac{y}{\parallel{y}\parallel}\right\|\leq{}\frac{2\cdot{\parallel{x-y}\parallel}}{\max\{\parallel{x}\parallel,\parallel{y}\|\}} \)

Gracias.

[Masacroso]

Supongamos que \( \|x\|\ge\|y\| \), entonces tu desigualdad queda \( \big\|x-y\|x\|/\|y\|\big\|\le 2\|x-y\| \). Ahora bien, de la desigualdad triangular tenemos que \( \big\|x-y\|x\|/\|y\|\big\|\le\|x-y\|+\big\|y-y\|x\|/\|y\|\big\| \).

Por tanto, teniendo en cuenta a ambas desigualdades, sería suficiente con demostrar que \( \big\|y-y\|x\|/\|y\|\big\|\le\|x-y\| \), que arreglando nos queda

\( \displaystyle \left\|y-y\frac{\|x\|}{\|y\|}\right\|=\left|1-\frac{\|x\|}{\|y\|}\right|\,\|y\|=\big|\|y\|-\|x\|\big| \)

de lo que deducimos inmediatamente que la desigualdad se cumple.

AÑADO: en este ejercicio sólo disponíamos de dos cosas: que el espacio era normado, y que ninguno de los elementos era cero. Con esa información sólo podíamos jugar con las propiedades de una norma. A veces es cierto que hace falta algo de "idea feliz", en este caso me dio por probar a aplicar la desigualdad triangular sobre \( \big\|x-y\|x\|/\|y\|\big\| \) y voilá. Se trata, en definitiva, de intentar todo tipo de cosas a ver si sale algo.