Hola
Hola buenas tardes!
Estoy terminando una relación de ejercicios y estoy un poco perdido con el último que dice algo así:
Sean \( A \) y \( B \) subconjuntos no vacíos de un espacio normado. Probar las siguientes
afirmaciones:
a) Si \( A \) es abierto \( \Rightarrow{} \) \( A+B \) es abierto.
Recuerda que:
\( A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\} \)
También dado \( x\in X, \) \( x+A=\{x+a|a\in A\} \).
Entonces comprueba que para cualquier \( b\in B \), \( b+A \) es abierto.
Spoiler
Si \( x\in b+A \), entonces \( x=b+a \) con \( a\in A \). Por ser \( A \) abierto existe una bola \( B(a,r)\subset A \) y entonces \( B(a+b,r)\subset b+A \).
Después nota que:
\( A+B=\displaystyle\bigcup_{b\in B}b+A \)
y utiliza que la unión arbitraria de abiertos es abierta.
b) Si \( A \) es compacto y \( B \) es cerrado \( \Rightarrow{} \) \( A+B \) es cerrado.
Usamos que:
- Un conjunto es compacto si cualquier sucesión contiene una subsucesión convergente a un punto dentro de él.
- Un conjunto es cerrado si toda sucesión convergente tiene el límite dentro del conjunto.
Entonces sea \( \{a_n+b_n\}\subset A+B \) sucesión convergente en a \( x \), con \( a_n\in A \), \( b_n\in B \).
Por ser \( A \) compacto \( \{a_n\} \) tiene una subsucesión \( \{a_{n_k}\} \) convergente a \( a\in A \).
Ahora \( b_{n_k}=(a_{n_k}+b_{n_k})-(a_{n_k}) \) es una sucesión en \( B \) que converge a \( b=x-a \). Por ser \( B \) cerrado \( b\in B \).
Entonces: \( x=a+b \) con \( a\in A \) y \( b\in B \) y así \( x\in A+B \).
Dar un ejemplo en el que \( A \) y \( B \) sean cerrados pero \( A+B \) no sea cerrado.
En \( \mathbb{R} \) considera:
\( A=\{n|n\in \mathbb{Z}-\{0\}\},\quad B=\left\{\left.\dfrac{1}{|n|+2}+n\right|n\in \mathbb{Z}\right\} \)
Saludos.
