Autor Tema: Distancias a dos puntos dados.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Octubre, 2018, 04:57 am
Leído 1278 veces

moliere

  • Aprendiz
  • Mensajes: 368
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El pueblo A está en el origen, el pueblo B está en las coordenadas \( (36,15) \).  Una compañía telefónica local quiere instalar una torre transmisora,  de manera que la distancia desde la torre hasta el pueblo B  sea el doble de la distancia desde la torre hasta el pueblo A.
 Demuestra que la torre debe encontrarse en un círculo, halla el centro y el radio de este círculo y traza la gráfica.
No sé cómo demostrar que todo punto de la circunferencia cumple la condición.

02 Octubre, 2018, 10:35 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,993
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El pueblo A está en el origen, el pueblo B está en las coordenadas \( (36,15) \).  Una compañía telefónica local quiere instalar una torre transmisora,  de manera que la distancia desde la torre hasta el pueblo B  sea el doble de la distancia desde la torre hasta el pueblo A.
 Demuestra que la torre debe encontrarse en un círculo, halla el centro y el radio de este círculo y traza la gráfica.
No sé cómo demostrar que todo punto de la circunferencia cumple la condición.

Desde el punto de vista de la geométria analítica es muy mecánico. Los puntos \( (x,y) \) donde pueden ubicarse las torres han de cumplir:

\( 2d((x,y),A)=d((x,y),B) \)

\( 2\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-36)^2+(y-15)^2} \)

Elevando al cuadrado y simplificando:

\( 3x^2+72x+3y^2+30y-1521=0 \)
\( x^2+24x+y^2+10y-507=0 \)
\( (x+12)^2+(y+5)^2-144-25-507=0 \)
\( (x+12)^2+(y+5)^2=676 \)
\( (x+12)^2+(y+5)^2=26^2 \)

Por tanto se trata de una circunferencia de centro \( (-12,-5) \) y radio \( 26 \).

Desde el punto de vista de la geometría sintética, Ignacio Larrosa explica aquí el problema:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=95556.msg385001#msg385001

Saludos.

03 Octubre, 2018, 03:22 am
Respuesta #2

moliere

  • Aprendiz
  • Mensajes: 368
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias, Luis Fuentes.