[manooooh]

Hola!

Desde lo alto de un edificio se lanzan simultáneamente dos cuerpos con velocidades iniciales verticales e iguales en módulos pero de sentidos opuestos. A los \( 10~s \) del lanzamiento los cuerpos distan \( 100~m \) entre sí. Calcular, en ese instante, las distancias entre cada cuerpo y el punto de lanzamiento indicado si está por encima o por debajo de él.


¿Un esquema aproximado de la situación puede ser el siguiente?:

Planteo las ecuaciones horarias de los dos cuerpos, sabiendo que la posición inicial de ambos es nula pues parten del mismo lugar:

\( x_A(t)=v_{0_A}t_A-5t_A^2; \)

\( x_B(t)=v_{0_B}t_B+5t_B^2. \)

Como a los \( 10 \) segundos llevan una diferencia de \( 100 \) metros entonces

\( 100=x_A(10)-x_B(10)=v_{0_A}(10)-5(10)^2-(v_{0_B}(10)+5(10)^2)=10v_{0_A}-500\;\underbrace{-10v_{0_B}}_{10v_{0_A}}-500\implies20v_{0_A}=1100\implies v_{0_A}=55~m/s. \)

Luego

\( x_A(10)=55(10)-5(10)^2\implies\boxed{x_A=50~m},\quad x_B(10)=-55(10)+5(10)^2\implies\boxed{x_B=-50~m}. \)

\( \boxed{\text{El cuerpo }A\text{ está por encima del punto de lanzamiento, y el cuerpo }B\text{ está por debajo de él}}. \)

¿Es correcto? ¿Contesté a lo que el enunciado pide?

Gracias!
Saludos

[delmar]

Hola manooooh

La respuesta es incorrecta. Tal como se ha puesto \( v_{0A},v_{0B} \), son componentes de las velocidades iniciales de A y de B. Es evidente que \( v_{0A}>0 \) y \( v_{0B}<0 \), en consecuencia el movimiento de A será uniformente retardado y el de B uniformente acelerado, esto por la gravedad. Por lo tanto la ecuación de A es correcta; pero la de B es incorrecta, ha de ser :

\( x_B=v_{0B}-5t^2 \)

Al analizar el nuevo resultado, observa que A llega a su altura máxima y luego cae e incluso pasa por el lugar desde donde inicio su  movimiento.



Saludos

[feriva]

Hola!

Desde lo alto de un edificio se lanzan simultáneamente dos cuerpos con velocidades iniciales verticales e iguales en módulos pero de sentidos opuestos. A los \( 10~s \) del lanzamiento los cuerpos distan \( 100~m \) entre sí. Calcular, en ese instante, las distancias entre cada cuerpo y el punto de lanzamiento indicado si está por encima o por debajo de él.


¿Un esquema aproximado de la situación puede ser el siguiente?:

Hola, Manooooh, en este caso mi recomendación es dejar los esquemas aparte.

Sólo hay que tener cuidado con esto: “frenar=acelaración negativa”, olvidándonos de direcciones y sentidos. Y el que sube, lógicamente, es el que frena.

Por lo que resta, el problema es muy, muy simple, una mera cuestión teórica, ya que, el punto de partida y la velocidad inicial es igual para ambos, y el tiempo también es común; luego la fórmula que rige para los dos es la misma, \( y_{f}=y_{0}+v_{0}t+\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \) sólo que cambiando el signo de los vectores aceleración y velocidad inicial. Con lo que si tomamos arbitrariamente \( y_{0}=0
  \), por ejemplo, y sumamos los dos recorridos, la suma da cero, lo que implica directamente que ambos recorridos son iguales en distancia y que, por tanto, uno recorre 50 metros hacia arriba y otro 50 hacia abajo.

Saludos.

[manooooh]

Hola a ambos, perdón por la tardanza, estaba cegado con los 1000 mensajes

delmar:

Es evidente que \( v_{0A}>0 \) y \( v_{0B}<0 \), en consecuencia el movimiento de A será uniformente retardado y el de B uniformente acelerado, esto por la gravedad. Por lo tanto la ecuación de A es correcta; pero la de B es incorrecta, ha de ser :

\( x_B=v_{0B}-5t^2 \)

¿No falta la \( \color{red}\boldsymbol t \) en \( x_B=v_{0B}\color{red}\boldsymbol t\color{black}-5t^2 \) al tener aceleración (pues está en caída libre)?

Por otro lado, cuando afirmás "el movimiento de A será uniformente retardado", ¿por qué mi ecuación de \( A \) está mal si la aceleración es negativa?

Es posible que mi referencia de \( +y \) esté mal; debería haberla puesto hacia abajo en el sentido de la gravedad; así tenemos, otra vez,

\( x_A(t)=v_{0_A}t_A-5t_A^2; \)

\( x_B(t)=v_{0_B}t_B+5t_B^2. \)

(con \( +y \) apuntando hacia abajo)

¿Sigue estando bien?


feriva:

(...) en este caso mi recomendación es dejar los esquemas aparte.

¿Y pero sino dónde está nuestra imaginación palpable de la situación?

Por lo que resta, el problema es muy, muy simple, una mera cuestión teórica, ya que, el punto de partida y la velocidad inicial es igual para ambos, y el tiempo también es común; luego la fórmula que rige para los dos es la misma, \( y_{f}=y_{0}+v_{0}t+\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \) sólo que cambiando el signo de los vectores aceleración y velocidad inicial. Con lo que si tomamos arbitrariamente \( y_{0}=0
  \), por ejemplo, y sumamos los dos recorridos, la suma da cero, lo que implica directamente que ambos recorridos son iguales en distancia y que, por tanto, uno recorre 50 metros hacia arriba y otro 50 hacia abajo.

¿O sea que lo que hice es correcto? Veo que en la respuesta coincidimos, ¿y en los razonamientos?

Como le comenté a delmar, es posible que el gráfico sea confuso por la \( +y \) hacia arriba; ¿ahora sí está bien?:

Gracias y saludos

[manooooh]

Parece que es un problema un tanto antiguo...

Saludos

[feriva]

¿O sea que lo que hice es correcto? Veo que en la respuesta coincidimos, ¿y en los razonamientos?

Como le comenté a delmar, es posible que el gráfico sea confuso por la \( +y \) hacia arriba; ¿ahora sí está bien?:

Spoiler

[cerrar]

Gracias y saludos

Como decía Homer Simpson, “quién sabe en este mundo qué está bien y qué está mal”. Me parece bien todo menos, precisamente, que hayas pintado el “+y” mirando para abajo (en mi opinión). Una cosa es que la aceleración “g” sea positiva hacia “abajo” y otra es cambiar la orientación que normalmente, habitualmente, consideramos en los ejes según empleamos la letra “y”; pero no digo que esté mal, todo depende de tu interpretación, las letras significan lo que nosotros queremos que signifiquen; si a ti te es cómodo verlo así, pues vale.
Puedes dibujar es el vector “-g” hacia arriba coincidiendo con “+Y”, eso lo vería más acorde con lo habitual.

Supongo que te habrás fijado en que el problema tiene lo que se llama “sobreinformación”. Si nos dicen un tiempo “t”, el que sea, sin darnos un valor concreto, la respuesta no cambia, no hace falta conocer el tiempo. También, si en vez de 100 m fueran 300 m (o cualquier otra distancia) la respuesta sería la mitad de 300 para cada objeto. Pues basta elegir un “y0” arbitrario (y puesto que no te dicen cuál es siempre puedes elegir arbitrariamente y0=0, que es el más cómodo) y sumar las ecuaciones con el signo correspondiente de sus vectores; con esas condiciones iniciales,  dará cero independientemente de los valores de la distancia y el tiempo.
Así que si quitamos los valores particulares que dan, el problema es tan antiguo como el propio Newton por lo menos, más viejo que yo

Saludos y buenos días.