Buenos dias, estaba realizando un ejercicio y no consigo entender que tengo que hacer, el ejercicio dice:
Sea \( \alpha \) un número real positivo, \( x_{1} \) > \( \sqrt{\alpha} \) y defínase mediante la
recurrencia:
\( x_{n+1}=\dfrac{1}{2}(x_{n}+\dfrac{\alpha}{x_{n}}) \)
1. Demostrar que {\( x_{n} \)} es monótona y decreciente y que \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{x_{n}} = \sqrt{\alpha} \)
2. Hacer \( \varepsilon_{n}= x_{n} - \sqrt{\alpha} \) y mostrar que:
\( \varepsilon_{n+1} = \dfrac{\varepsilon_{n}^2}{2x_{n}} < \dfrac{\varepsilon_{n}^2}{\sqrt{\alpha}} \)
De modo que al poner \( \beta = 2\sqrt{\alpha} \) se tiene:
\( \varepsilon_{n+1} < \beta ( \dfrac{\varepsilon_{1}}{\beta})^{2^{n}} \) \( (n = 1, 2, 3, . . .) \)
Agradecería si pudieran ayudarme a comprender este ejercicio, muchas gracias de antemano y un saludo.
