[Lusin]

Buenas tardes, he estado realizando algunos ejercicios de álgebra y me he encontrado con un problema que se repite en todos los ejercicios que tengo que hacer, por ejemplo :

Si me dicen , que en \( \mathbb{R^2} \) se define la relación \( (x,y)R(a,b) \) como \( y-b=x^2-a^2 \)

me dicen que calcule la clase de un punto cualquiera (a,b) ... Las clases de equivalencias son todas las que verifican dicha ecuación ¿no? , es decir , ¿Cómo lo calculo ? . Despues me pide que describa el conjunto cociente \( \mathbb{R^2}/R \), este último conjunto es aquel que contiene todas las clases de equivalencia ¿verdad? , pero es que no se cómo calcularas exactamente con dicha relación.

Si alguien pudiese ayudarme se lo agradecería , todos los ejercicios del libro son practicamente iguales y la parte de demostrar que es relación de equivalencia me sale( Demostrar que es reflexiva , simétrica y transitiva ) , es ahí dónde me he quedado un poco atascado sin saber qué hacer.

Saludos y gracias de antemano

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, he estado realizando algunos ejercicios de álgebra y me he encontrado con un problema que se repite en todos los ejercicios que tengo que hacer, por ejemplo :

Si me dicen , que en \( \mathbb{R^2} \) se define la relación \( (x,y)R(a,b) \) como \( y-b=x^2-a^2 \)

me dicen que calcule la clase de un punto cualquiera (a,b) ... Las clases de equivalencias son todas las que verifican dicha ecuación ¿no? , es decir , ¿Cómo lo calculo ? . Despues me pide que describa el conjunto cociente \( \mathbb{R^2}/R \), este último conjunto es aquel que contiene todas las clases de equivalencia ¿verdad? , pero es que no se cómo calcularas exactamente con dicha relación.

Si alguien pudiese ayudarme se lo agradecería , todos los ejercicios del libro son practicamente iguales y la parte de demostrar que es relación de equivalencia me sale( Demostrar que es reflexiva , simétrica y transitiva ) , es ahí dónde me he quedado un poco atascado sin saber qué hacer.

La clase de equivalencia de un punto \( (a,b) \) es el conjunto de puntos \( (x,y) \) relacionados con él:

\( [(a,b)]=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|(x,y)\sim (a,b)\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y-b=x^2-a\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y=x^2-a+b^2\} \)

Es decir la clase del punto \( (a,b) \) es la curva de ecuación \( y=x^2-a+b^2 \), es decir, una parábola. Si te fijas cuando variamos el punto \( (a,b) \) lo que modificamos es el término independiente de la ecuación es decir subimos o bajamos la parábola.

Por tanto el conjunto cociente \( \mathbb{R}^2/R \) es el conjunto de parábolas del plano con vértice en el eje \( Y \) y paralelas a \( y=x^2 \).

Lo tienes aquí representado. Moviendo el punto rojo dibujas la parábola concreta que constituye su clase de equivalencia.


Saludos.

[Lusin]

Hola

Buenas tardes, he estado realizando algunos ejercicios de álgebra y me he encontrado con un problema que se repite en todos los ejercicios que tengo que hacer, por ejemplo :

Si me dicen , que en \( \mathbb{R^2} \) se define la relación \( (x,y)R(a,b) \) como \( y-b=x^2-a^2 \)

me dicen que calcule la clase de un punto cualquiera (a,b) ... Las clases de equivalencias son todas las que verifican dicha ecuación ¿no? , es decir , ¿Cómo lo calculo ? . Despues me pide que describa el conjunto cociente \( \mathbb{R^2}/R \), este último conjunto es aquel que contiene todas las clases de equivalencia ¿verdad? , pero es que no se cómo calcularas exactamente con dicha relación.

Si alguien pudiese ayudarme se lo agradecería , todos los ejercicios del libro son practicamente iguales y la parte de demostrar que es relación de equivalencia me sale( Demostrar que es reflexiva , simétrica y transitiva ) , es ahí dónde me he quedado un poco atascado sin saber qué hacer.

La clase de equivalencia de un punto \( (a,b) \) es el conjunto de puntos \( (x,y) \) relacionados con él:

\( [(a,b)]=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|(x,y)\sim (a,b)\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y-b=x^2-a\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y=x^2-a+b^2\} \)

Es decir la clase del punto \( (a,b) \) es la curva de ecuación \( y=x^2-a+b^2 \), es decir, una parábola. Si te fijas cuando variamos el punto \( (a,b) \) lo que modificamos es el término independiente de la ecuación es decir subimos o bajamos la parábola.

Por tanto el conjunto cociente \( \mathbb{R}^2/R \) es el conjunto de parábolas del plano con vértice en el eje \( Y \) y paralelas a \( y=x^2 \).

Lo tienes aquí representado. Moviendo el punto rojo dibujas la parábola concreta que constituye su clase de equivalencia.


Saludos.

Muchas gracias por la contestación , a ver si me ha quedado claro entonces ...

Si la relación de la clase fuese \( y=b \) serían todas las rectas horizontales del plano cartesiano

Si la relación de la clase fuese\( \left |{x}\right | = \left |{b}\right |  \) serían todas las rectas verticales en el plano cartesiano que sean \( x\geq{0} \)

Si la relación de la clase fuese \( y=ax \) serían todas las rectas que pasan por el punto \( (0,0) \)

¿verdad? . Muchas gracias de nuevo por todo. Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si la relación de la clase fuese \( y=b \) serían todas las rectas horizontales del plano cartesiano

Si.

Si la relación de la clase fuese\( \left |{x}\right | = \left |{b}\right |  \) serían todas las rectas verticales en el plano cartesiano que sean \( x\geq{0} \)

No. De hecho tal como lo has escrito ni siquiera es una relación de equivalencia. Si defines:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad |x|=|b| \)

entonces por ejemplo no se cumple la simétrica: \( (2,1)\sim (1,3) \) pero \( (1,3)\not\sim (2,1) \).

Si sería de equivalencia si defines:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad |x|=|a| \)

En ese caso las clases de equivalencia serían pares de rectas verticales simétricas respecto al eje Y; es decir, una clase las recta \( x=1 \) y \( x=-1 \); otra las rectas \( x=2 \) y \( x=-2 \) y así.

Si la relación de la clase fuese \( y=ax \) serían todas las rectas que pasan por el punto \( (0,0) \)

Tampoco es una relación de equivalencia.

Si quieres algo así tendrías que definir en \( \mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \) la relación:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad xb=ya \).

Las clases de equivalencia serían las rectas que pasan por el origen.

Saludos.

[Lusin]

Hola

Si la relación de la clase fuese \( y=b \) serían todas las rectas horizontales del plano cartesiano

Si.

Si la relación de la clase fuese\( \left |{x}\right | = \left |{b}\right |  \) serían todas las rectas verticales en el plano cartesiano que sean \( x\geq{0} \)

No. De hecho tal como lo has escrito ni siquiera es una relación de equivalencia. Si defines:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad |x|=|b| \)

entonces por ejemplo no se cumple la simétrica: \( (2,1)\sim (1,3) \) pero \( (1,3)\not\sim (2,1) \).

Si sería de equivalencia si defines:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad |x|=|a| \)

En ese caso las clases de equivalencia serían pares de rectas verticales simétricas respecto al eje Y; es decir, una clase las recta \( x=1 \) y \( x=-1 \); otra las rectas \( x=2 \) y \( x=-2 \) y así.

Si la relación de la clase fuese \( y=ax \) serían todas las rectas que pasan por el punto \( (0,0) \)

Tampoco es una relación de equivalencia.

Si quieres algo así tendrías que definir en \( \mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \) la relación:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad xb=ya \).

Las clases de equivalencia serían las rectas que pasan por el origen.

Saludos.

Vale , me ha quedado claro . Muchísimas gracias por todo.