[R_Gauss]

Buen día.

Estoy realizando el siguiente ejercicio, y me surge un inconveniente. El ejercicio dice así:

Considere la secuencia de números reales: \( 4, 11, 25, 53,... \)  .Defina la secuencia de manera recursiva y luego pruebe que el término general de la sucesión, está dado por: \( a_n=7.2^{n-1}-3 \)

Al empezar a realizar la sucesión de la forma:

\( a_0=4 \)
\( a_1=11 \)
\( a_2=25 \)
\( a_3=53 \)
\( a_4=109 \)
\( a_5=221 \)

Eso significa que \( a_1-a_o=7=7.2^0 \) ;  \( a_2-a_1=14=7.2^1 \) Si repetimos de esa forma, significa que \( a_{n+1} - a_n=7.2^n \)

Al desarrollar la formula directa que luego debo demostrar con la formula recursiva que estoy hallando, dada en el enunciado: \( a_n=7.2^{n-1}-3 \) ésta empieza desde \( a_1=4 \) y así...

¿Cómo podría solucionar el desfase para encontrar la fórmula recursiva? ¿Tiene que ver con el enunciado de números Reales y no directamente de Naturales?


Agradezco sus colaboraciones

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Buen día.

Estoy realizando el siguiente ejercicio, y me surge un inconveniente. El ejercicio dice así:

Considere la secuencia de números reales: \( 4, 11, 25, 53,... \)  .Defina la secuencia de manera recursiva y luego pruebe que el término general de la sucesión, está dado por: \( a_n=7.2^{n-1}-3 \)

Al empezar a realizar la sucesión de la forma:

\( a_0=4 \)
\( a_1=11 \)
\( a_2=25 \)
\( a_3=53 \)
\( a_4=109 \)
\( a_5=221 \)

Eso significa que \( a_1-a_o=7=7.2^0 \) ;  \( a_2-a_1=14=7.2^1 \) Si repetimos de esa forma, significa que \( a_{n+1} - a_n=7.2^n \)

Al desarrollar la formula directa que luego debo demostrar con la formula recursiva que estoy hallando, dada en el enunciado: \( a_n=7.2^{n-1}-3 \) ésta empieza desde \( a_1=4 \) y así...

¿Cómo podría solucionar el desfase para encontrar la fórmula recursiva? ¿Tiene que ver con el enunciado de números Reales y no directamente de Naturales?

 Es no sé porque empiezas a indexar la sucesión en el cero.

 El propio enunciado te dice que al final demuestres que la sucesión viene dada por \( a_n=7\cdot 2^{n-1}-3 \) de forma que:

\( a_1=7\cdot 2^{1-1}-3=4 \)

 es decir te "invita" a empezar a indexar la sucesión en el \( 1 \).

 El empezar una sucesión con índices en \( 0 \) o \( 1 \) es una cuestión de convenio, pero lo más extendido creo que es empezar en el \( 1 \).

Saludos.

[R_Gauss]

Hola Luis,
Gracias por su respuesta.

Eso significaría que que \( a_{n+1}=a_n+7.2^n  \) Porque al tomarlo como \( a_n=a_{n+1}-7.2^n \) Necesitaría el sucesor para encontrar el elemento que necesito. Y luego con ello, demostrar que \( a_n=7.2^{n-1}-3 \). Es decir, al demostrarlo por inducción ¿Qué debo tomar cómo hipótesis inductiva? ¿\( P(n): a_{n+1}=a_n+7.2^n =7.2^n-3 \) y luego demostrar \( P(n+1): a_{n+2}=a_{n+1}+7.2^{n+1}=7.2^{n+1}-3  \) o debo tomar:  \( P(n): a_n=a_{n+1}-7.2^n=7.2^{n-1}-3 \) y luego demostrar que \( P(n+1): a_{n+1}= a_{n+2}-7.2^{n+1}=7.2^{n}-3 \)?

¿Cómo podría demostrar que \(  a_{n}=7.2^{n-1}-3 \)?

Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Eso significaría que que \( a_{n+1}=a_n+7.2^n  \) Porque al tomarlo como \( a_n=a_{n+1}-7.2^n \) Necesitaría el sucesor para encontrar el elemento que necesito. Y luego con ello, demostrar que \( a_n=7.2^{n-1}-3 \). Es decir, al demostrarlo por inducción ¿Qué debo tomar cómo hipótesis inductiva? ¿\( P(n): a_{n+1}=a_n+7.2^n =7.2^n-3 \) y luego demostrar \( P(n+1): a_{n+2}=a_{n+1}+7.2^{n+1}=7.2^{n+1}-3  \) o debo tomar:  \( P(n): a_n=a_{n+1}-7.2^n=7.2^{n-1}-3 \) y luego demostrar que \( P(n+1): a_{n+1}= a_{n+2}-7.2^{n+1}=7.2^{n}-3 \)?

No. Tienes que:

\( a_2-a_1=11-4=7\cdot 2^0 \)
\( a_3-a_2=25-11=14=7\cdot 2^1 \)
\( a_4-a_3=53-25=28=7\cdot 2^2 \)

Por tanto tu sucesión se puede definir recursivamente como:

\( x_1=4,\quad x_{n+1}=x_n+7\cdot 2^{n-1} \).

Para ver que \( a_n=7\cdot 2^{n-1}-3 \) cumple esa relación tienes que verificar dos cosas:

1) Que \( a_1=4 \).

Spoiler

Efectivamente:

\( a_1=7\cdot 2^{1-1}-3=7-3=4 \)

[cerrar]

2) La relación recursiva: \( a_{n+1}=a_n+7\cdot 2^{n-1} \).

Spoiler

\( a_{n+1}=7\cdot 2^{n+1-1}-3=7\cdot 2^n-3=7\cdot (2^{n-1}+2^{n-1})-3=7\cdot 2^{n-1}+7\cdot 2^{n-1}-3=a_n+7\cdot 2^{n-1} \)

[cerrar]

Saludos.