Hola
Continuando con la idea de delmar:
Una forma es la terna constituida por el número de niños h, el número de niñas m, el número de profesores p. que pueden consumir los 57 caramelos, no importa el orden. Se ha de tener en cuenta que los tres números son mayores o iguales a 1, por dato del problema, y evidentemente se ha de cumplir :
\( 5h+2m+p=57 \)
Dado que \( h,m,p\geq 1 \) podemos tomar \( x=h-1,\quad y=m-1,\quad z=p-1 \) y la ecuación queda:
\( 5x+2y+z=49 \)
Y se trata de contar cuantas soluciones tiene en los enteros no negativos.
Hay una forma usual de encarar este tipo de problemas a través de la
teoría de funciones generatrices. ¿La conoces?.
Spoiler
En este caso consideraríamos la función:
\( f(t)=(1+t^5+t^{10}+t^{15}\ldots)(1+t^2+t^4+t^6+\ldots)(1+t+t^2+t^3+\ldots)=\dfrac{1}{1-t^5}\dfrac{1}{1-t^2}\dfrac{1}{1-t} \)
y el número buscado es el coeficiente del término \( x^{49} \) que puede obtenerse como:
\( \dfrac{f^{49)}(0)}{49!} \)
Otra forma que utiliza menos bagaje teórico es pensar en las soluciones de:
\( 2y+z=N \)
Es bastante fácil razonar que el número de soluciones es:
\( s(N)=\begin{cases} \dfrac{N}{2}+1 & \text{si}& N\textsf{ par}\\\dfrac{N+1}{2} & \text{si}& N\textsf{ impar}\end{cases} \)
Entonces teniendo en cuenta que \( 5x+2y+z=49 \) equivale a \( 2y+z=49-5x \), el número de soluciones que buscamos es:
\( \displaystyle\sum_{x=0}^9{}s(49-5x)=\displaystyle\sum_{k=0}^4s(49-10k)+\displaystyle\sum_{k=0}^4s(44-10k)=\displaystyle\sum_{k=0}^4\dfrac{50-10k}{2}+\displaystyle\sum_{k=0}^4\dfrac{44-10k}{2}+1=\displaystyle\sum_{k=0}^4(48-10k)=140 \)
Saludos.
