[Lusin]

Hola buenas noches, he estado realizando algunas actividades del libro de mates y hay 2 problemas de inducción que me estoy llevando la misma vida poder sacarlos, he intentado suponerlo para m cierto y probarlo para m+1 , al igual que suponerlo para m-1 y probar m, pero aún así no encuentro ninguna pista para poder realizarlo, son los siguientes :

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot{(k!)}=(n+1)! -1 \)

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n (6k-2)=n(3n+1) \)

Muchas gracias de antemano. Saludos

[delmar]

Hola

1)  Para n=1 se cumple

Para  n+1, suponiendo cierto para n

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{k.k!}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{k.k!}+(n+1)(n+1)! \)

En este punto suponemos verdadero el teorema para n esto implica :

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}{k.k!}=(n+1)!-1+(n+1)! \ (n+1)=(n+1)!(n+2)-1=(n+2)! \ -1 \)

Que te parece si intentas el 2) y muestras algún avance.

Saludos

[feriva]

Hola buenas noches, he estado realizando algunas actividades del libro de mates y hay 2 problemas de inducción que me estoy llevando la misma vida poder sacarlos

Eso es porque todavía estás empezando con estos ejercicios, pero enseguida tomarás costumbre.

Simplemente, para visualizarlo, se trata de desarrollar un poco la sumatoria, con varios términos y puntos suspensivos, y sustituir después:

\( {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(6k-2)={\color{blue}n(3n+1)}}
  \)

\( {\displaystyle {\color{blue}(6-2)+(6\cdot2-2)+(6\cdot3-2)+...+(6n-2)}+{\color{magenta}(6(n+1)-2)}=(n+1)(3(n+1)+1)}
  \)

o sea \( \sum_{k=1}^{n}(6k-2)=\;{\color{blue}n(3n+1)\;}={\displaystyle {\color{blue}(6-2)+(6\cdot2-2)+(6\cdot3-2)+...+(6n-2)}}
  \).

Entonces:

\( {\color{blue}n(3n+1)}+{\color{magenta}(6(n+1)-2)}=(n+1)(3(n+1)+1)
  \)

y una vez que hagas esto sólo se trata de verificar si se cumple la igualdad.

Saludos.

[Lusin]

Muchas gracias a los dos , he estado realizando otros ejercicios muy parecidos de inducción y ya me están saliendo poco a poco . La verdad es que cuando le pillas el truco es fácil . De nuevo gracias . Saludos