[Tholmor]

Buenos días, hoy en el parcial de algebra matricial apareció este ejercicio y no entiendo si el problema está bien planteado y mucho menos como resolverlo, si alguien me puede explicar como funciona el producto (si es que está bien planteado) lo agradecería mucho. Aquí el ejercicio:

Sean A y B matrices cuadradas de tamaño n (es decir, nxn) invertibles. Pruebe que el sistema de ecuaciones matriciales
\begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{A}&{:}&{B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= I_{2\times 2}}\end{array}
\begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{2A}&{:}&{-B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= 2I_{2\times 2}}\end{array}

donde X e Y son matrices (incógnitas) tiene única solución. Calcule la solución.

[Fernando Revilla]

Sean A y B matrices cuadradas de tamaño n (es decir, nxn) invertibles. Pruebe que el sistema de ecuaciones matriciales \( \begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{A}&{:}&{B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= I_{2\times 2}}\end{array} \) \( \begin{array}{ccc}{\begin{bmatrix}{2A}&{:}&{-B}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{X}\\{Y}\end{bmatrix}}&{= 2I_{2\times 2}}\end{array} \) donde X e Y son matrices (incógnitas) tiene única solución. Calcule la solución.

Tal como está planteado, necesariamente \( X \) e \( Y \) han de ser matrices cuadradas de orden dos, y usando la multiplicación por cajas queda el sistema \( \begin{cases} AX+BY=I\\2AX-BY=2I.\end{cases} \) Sumando ambas eccuaciones obtenemos \( AX=I \) con lo cual, \( X=A^{-1}. \) Usa ahora (por ejemplo) la primera ecuación para hallar \( Y \).

[Tholmor]

Gracias! Eso era lo que yo suponía, pero es que en clase se usa ":" para notar una matriz A aumentada por una matriz B. Sin embargo, esa si es la forma correcta de ver el ejercicio, muchas gracias.