[shaggy]

Hola, tengo el siguiente problema:

Probar que \(  \mathbb{N} \) contiene infinitos subconjuntos infinitos disjuntos a pares.

[manooooh]

Hola

Probar que \(  \mathbb{N} \) contiene infinitamente subconjuntos infinitos disjuntos a pares.

¿Qué intentaste? ¿Cuáles son tus dudas? ¿Dónde te trabaste? Comentanos estas cosas así podemos darte una mejor ayuda.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Hola, tengo el siguiente problema:

Probar que \(  \mathbb{N} \) contiene infinitos subconjuntos infinitos disjuntos a pares.

Coincido con manooooh en que si informas un poco sobre tu situación frente al problema, resulta más sencillo avanzar.

Es sencillo encontrar colecciones de infinitos subconjuntos infinitos que cumplan el enunciado. Por ejemplo:

Spoiler

Sea \( k\in{\mathbb{N-\{0,1\}}} \) entonces \( A_k=\{k^n:n\in{\mathbb{N}-\{0\}}\} \) es un conjunto infinito pues infinitas son las potencias de un número natural mayor que uno.

Entonces la colección \( \{A_k:k \) es primo \( \} \) tiene infinitos subconjuntos infinitos de \( \mathbb{N} \), ya que hay infinitos primos. Además, esos subconjuntos son disjuntos dos a dos ya que ningún número puede ser potencia de dos primos distintos, y ya tenemos una colección que cumple el enunciado.

[cerrar]

Saludos.

[shaggy]

defini una biyeción entre \( \mathbb{N} \times \mathbb{N}  \) a \(  \mathbb{N} \) ahora defino una función \( f: \mathbb {N} \times \mathbb {N} \) donde va de \( (k,n) \) a \( n \) donde el conjunto \( A_{k}= {(k,n):n \in \mathbb{N}} \) me puede ayudar

[martiniano]

Hola.

Si te refieres a lo que pienso que te refieres vas bien.

Definida una biyección \( f:\mathbb{N^2}\rightarrow{\mathbb{N}} \) , los conjuntos de la forma \( A_k=\{f(k, n) :n\in{\mathbb{N}}\}  \) donde \( k \) es un número natural, cumplen la condición del enunciado.

Saludos.