De casualidad me encontré con esto:
https://sites.google.com/site/nonnewtoniancalculus/donde se describe cómo construir cálculos de todo tipo, no necesariamente lineales, es decir con derivada e integral, y me ha parecido muy curioso (de hecho se aplica en algunas áreas de ingeniería relacionada con la medicina y economía, entre otras cosas).
La construcción es la siguiente: se parte de un par ordenado de cuerpos ordenados y completos \( (A,B) \), con isomorfismos \( \alpha:\Bbb R\to A \) y \( \beta:\Bbb R\to B \) y \( \alpha^{-1},\beta^{-1} \) sus respectivas inversas. Sea \( D \) el operador derivada clásico, y \( f:X\to B \) una función cualquiera, con \( X\subset A \), y también denotaremos por \( D^* \) como la derivada no clásica generada por el par \( (\alpha,\beta) \).
Finalmente si para algún \( t \) tenemos que \( \alpha(t)\in X \) definiremos \( F(t):=(\beta^{-1}\circ f\circ \alpha)(t) \).
Teorema 1: sea \( a\in X \), entonces \( [D^* f](a) \) existe si y solo si \( [D\,F](\alpha^{-1}(a)) \) también existe, entonces \( [D^* f](a):=\beta([DF](\alpha^{-1}(a))) \).
Teorema 2: sea \( f \) *-continua en un intervalo cerrado \( X\subset A \), entonces \( F \) es continua (en el sentido clásico) en el intervalo cerrado \( \alpha^{-1}(X) \), donde se define la media no clásica \( M^*:=\beta(M) \), para la media aritmética \( M \) de \( F \) en \( \alpha^{-1}(X) \).
Teorema 3: sea \( f \) *-continua en un intervalo cerrado \( X\subset A \), entonces se define la integral no clásica \( S^*:=\beta(S) \) donde \( S \) es la integral de \( F \) en \( \alpha^{-1}(X) \).
(En la citada web no se define una noción específica de *-continuidad.)
Curioso, ¿no? Aunque no dejan de ser operadores con una relación especial al cálculo y teoremas fundamentales derivados.
