[martiniano]

Hola, buenas. Estoy un poquillo atrapado en la siguiente cuestión:

Pretendo hallar los subcuerpos del cuerpo de descomposición de \( P(x)=x^7+4x^5-x^2-4 \) sobre \( \mathbb{Q} \). Comienzo sacando las raíces del polinomio, tarea sencilla ya que: \( P(x)=(x^5-1)(x^2+4) \). Luego las raíces son: \( \{1,e^{2\pi{i}/5},e^{4\pi{i}/5},e^{6\pi{i}/5},e^{8\pi{i}/5},2i,-2i\} \) y el cuerpo de descomposición: \( L=\mathbb{Q}(e^{2\pi{i}/5},i) \)

Ahora viene cuando creo haber encontrado un \( \mathbb{Q} \)-automorfismo \( \sigma\in{\mathcal{G}(L/\mathbb{Q})} \) tal que: \( \sigma(i)=-i \) y \( \sigma(e^{2\pi{i}/5})=e^{8\pi{i}/5} \), entonces:

\( \sigma(e^{4\pi{i}/5})=(\sigma(e^{2\pi{i}/5}))^2=e^{16\pi{i}/5}=e^{6\pi{i}/5} \)
\( \sigma(e^{6\pi{i}/5})=(\sigma(e^{2\pi{i}/5}))^3=e^{24\pi{i}/5}=e^{4\pi{i}/5} \)
\( \sigma(e^{8\pi{i}/5})=(\sigma(e^{2\pi{i}/5}))^4=e^{32\pi{i}/5}=e^{2\pi{i}/5} \)

Entonces, lo que me parece ver es que \( \{Id,\sigma\} \) es un subgrupo de \( {\mathcal{G}(L/\mathbb{Q})} \), ya que \( \sigma^2=Id \). Y también que  \( \{Id,\sigma\}'=\mathbb{Q} \) . Esto no puede ser porque, según el teorema fundamental de la teoría de Galois, el único subgrupo de \( {\mathcal{G}(L/\mathbb{Q})} \) que deja fijo sólo a \( \mathbb{Q} \) es, precisamente \( {\mathcal{G}(L/\mathbb{Q})} \).

¿Alguien sabría decirme dónde estoy "metiendo la pata"?

Gracias de antemano, y disculpad si el error es garrafal, pero es que soy algo nuevo en esto y tengo los conceptos algo "verdes".

Saludos.

[martiniano]

Vale, ya he visto algo:

\( cos\,2\pi/5=\displaystyle\frac{e^{2\pi i/5}+e^{8\pi i/5}}{2}\in{\{Id,\sigma\}'}\neq{\mathbb{Q}} \)

No sé qué pasa, pero es publicar una duda aquí y empezar a ver la luz  .

Saludos

[martiniano]

Hola.

Voy a ver si arreglo el entuerto. El enunciado original decía:

Calcular cuántos subcuerpos tiene el cuerpo de descomposición de \( P=x^7+4x^5-x^2-4 \) sobre \( \mathbb{Q} \)

Mi solución:

Spoiler

Ya he dicho que el cuerpo de descomposición de \( P \) es: \( L=\mathbb{Q}(e^{2\pi{}i/5},i) \). Observar que, al ser \( L/\mathbb{Q} \) una extensión de Galois:

\( \left |{\mathcal{G}}(L/\mathbb{Q})\right |=[L:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}((e^{2\pi{}i/5},i)):\mathbb{Q}(i)]\cdot{}[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=4\cdot{2}=8 \)

El grupo de Galois me queda:

\( {\mathcal{G}}(L/\mathbb{Q})=\{Id,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\tau\sigma,\tau\sigma^2,\tau\sigma^3\} \cong \mathbb{Z_4}\times{}\mathbb{Z_2} \)

Donde:

\( \sigma(e^{2\pi{}i/5})=e^{4\pi{}i/5} \) , \( \sigma(i)=i \)
\( \tau(e^{2\pi{}i/5})=e^{2\pi{}i/5} \) , \( \tau(i)=-i \)

Como \( \mathbb{Z_4}\times{}\mathbb{Z_2} \) tiene cinco subgrupos no triviales, también los tendrá \( {\mathcal{G}}(L/\mathbb{Q}) \) y \( L/\mathbb{Q} \) tendrá cinco subcuerpos intermedios.

[cerrar]

También me dio, como dije, por hallar los subcuerpos intermedios de \( L/\mathbb{Q} \):

Spoiler

\( \{Id,\sigma,\sigma^2,\sigma^3\}'=\mathbb{Q}(i) \)
\( \{Id,\sigma^2\}'=\mathbb{Q}(\cos(2\pi/5),i) \)
\( \{Id,\tau\}'=\mathbb{Q}(e^{2\pi{}i/5}) \)
\( \{Id,\sigma^2\tau\}'=\mathbb{Q}(\sin(2\pi/5)) \)
\( \{Id,\sigma^2,\tau,\sigma^2\tau\}'=\mathbb{Q}(\cos(2\pi/5)) \)

Después de hallar esto me preocupó el paradero de cuerpos como \( \mathbb{Q}(i\cos(2\pi{}/5)) \) , \( \mathbb{Q}(i\sin(2\pi{}/5)) \) o \( \mathbb{Q}(\cos(\pi{}/5)) \). Pero pronto recuperé el sueño al encontrar relaciones como que:

\( \cos(2\pi{}/5)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}-1}{4} \) , \( \cos(\pi{}/5)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}+1}{4} \) , \( \sin(2\pi{}/5)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}+5}{8}} \) , \( \ldots \)

Estas relaciones también permiten ver que:

\( \cos(2\pi/5)\in{\mathbb{Q}(\sin(2\pi/5))}\;\Rightarrow{\;}\mathbb{Q}(\sin(2\pi/5))\supseteq{\mathbb{Q}(\cos(2\pi/5))} \)

[cerrar]

Eso es todo. Si alguien cree que se debe añadir algo más soy todo oídos. 

Saludos.