[victorescobar]

Dado un polinomio real de grado 7 \( p(z) \). Me preguntan si tendrá más de 14 soluciones la ecuación \( p(z+\bar{z})=0 \). Sé que el polinomio al ser real e impar tiene una solución real. Y tres pares de raíces conjugadas.  Ya al resolver la ecuación me hago un lío. Ya que lo resuelvo factorizando el polinomio anterior. \( (z+k)(z-a+bi)(z-a-bi)...=0 \) donde \( k\in{\mathbb{R}} \).  Sustituyendo la ecuación, tenemos \( (z+\bar{z}+k)=0 \) donde tendríamos \( z=\displaystyle\frac{a}{2} \). Con las soluciones complejas no tengo ninguna idea. A ver si me pueden ayudar a aclararme la mente. Saludos

[martiniano]

Hola.

Pues yo diría que la respuesta a la pregunta que te hacen es que la ecuación siempre tiene infinitas soluciones. Mi razonamiento es el siguiente:

Al ser \( p(z) \) de grado impar, éste siempre tendrá al menos una raíz real. Sea, entonces, \( a\in{\mathbb{R}} \) tal que \( p(a)=0 \). Llamando \( Re(z) \) y \( Im(z) \) a las partes real e imaginaria de \( z \), basta con tomar \( z \) tal que \( Re(z)=\displaystyle\frac{a}{2} \) para que se cumpla \( p(z+\overline{z})=p(Re(z)+Im(z)+Re(z)-Im(z))=p(2Re(z))=p(a)=0 \).

Espero que te sirva, si te quedan dudas comenta. Saludos.

[victorescobar]

Entonces tiene infinitas soluciones porque la parte imaginaria de la ecuación, igualada a un número real es de la forma \( p(a)=0 \) donde \( a\in{\mathbb{R}} \) y \( z=x+yi \)

\( x+yi+x-yi+a=0 \)

La parte real sería
\( 2x=a \)
La parte imaginaria
 \( y-y=0 \)
\( 0=0 \)
Y tendría infinitas soluciones en forma imaginaria. Estaría bien el razonamiento? Gracias por tu respuesta.

[martiniano]

Bueno, más o menos...

No entiendo a qué llamas "parte compleja de una ecuación".

Saludos

[victorescobar]

Quería decir imaginaria. Un error de expresión. Gracias saludos

[martiniano]

Hola

Pues, aún así, no sé si te he entendido bien. La parte imaginaria de \( p(z+\bar{z}) \) es idénticamente nula, no sé si es eso lo que quieres decir. Pero eso no significa que \( p(z+\bar{z}) \) se anule infinitas veces.

Saludos.

[victorescobar]

Si era eso saludos.