El ejercicio no me queda muy claro pero supongo que te piden calcular \( \displaystyle \int_T A(l)\, dl \), donde \( A(l)\, dl \) es el diferencial isomorfo al campo vectorial \( A \), con \( l:=(x,y) \), y \( T \) es el contorno triangular.
Si fuese así tendrías que parametrizar el contorno \( T \) por una función respecto de una variable real, llamémosla \( \gamma \) y supongamos que \( \gamma:[0,1]\to T \), entonces seguramente sabrás que
\( \displaystyle \int_T A(l)\,dl=\int_0^1 \langle A(\gamma(t))\mid\dot\gamma(t)\rangle\, dt \)
(donde \( \gamma \) es diferenciable a trozos, \( \dot\gamma \) es esa derivada, y \( \langle\cdot|\cdot\rangle \) es el producto escalar). Si la forma diferencial \( A(l)\, dl \) es
exacta cerrada, y asumiendo que estamos en \( \Bbb R^2 \) (es decir, el espacio no tiene agujeros o cosas raras) entonces se cumpliría el lema de Poincaré y la integral valdría cero.
Igualmente sería bueno que alguien confirmase si lo que acabo de decir es correcto, tengo la geometría diferencial oxidada.
AÑADO: también añadir que \( dl=(dx,dy) \), y \( A(l)\, dl \) es un producto escalar, en este caso sería
\( \displaystyle A(l)\, dl=(2x^2+y^2)\, dx+(xy-y^2)\, dy \)
