Autor Tema: Pregunta sobre Vectores Paralelos

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04 Septiembre, 2018, 12:55 am
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Diego Sanchez

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Si A = 5i + 3j + 2k, B = -i + 4j +6k y C = 8i +2j, halle los valores de Alfa y Beta tales que Alfa(A) + Beta (B) + C sea paralela al eje y

04 Septiembre, 2018, 01:44 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola Diego Sanchez, bienvenido al foro!

Recordá leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

¿Si \( A = 5i + 3j + 2k \), \( B = -i + 4j +6k \) y \( C = 8i +2j \), halle los valores de \( \alpha \) y \( \beta \) tales que \( \alpha A+\beta B+C \) sea paralela al eje \( y \)?

¿Qué dudas concretas tenés? ¿Tenés problemas para plantear la condición de paralelismo entre los dos vectores?

En primer lugar expresá los vectores como coordenadas, o sea, encontrá \( \vec A=(\square_\check i,\square_\check j,\square_\check k) \), \( \vec B=(\square_\check i,\square_\check j,\square_\check k) \) y \( \vec C=(\square_\check i,\square_\check j,\square_\check k) \).

Una vez hecho esto debés plantear \( \alpha\vec A+\beta\vec B+\vec C \), con \( \alpha \) y \( \beta \) escalares (números reales que multiplican a los vectores). Para ello tenés que multiplicar cada uno de los escalares por cada componente de los vectores correspondientes.

Luego debés hacer la suma de los tres vectores.

Por último, que un vector (la suma de tres vectores en este caso) sea paralelo a otro (en este caso el eje \( y \) se puede expresar como \( (0,1,0) \)) significa que existe un escalar \( k\in\mathbb R \) tal que \( \alpha\vec A+\beta\vec B+\vec C=k(0,1,0) \). Como podés observar tenemos tres componentes con tres variables (\( \alpha \), \( \beta \) y \( k \)); debés plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, resolviendo por el método que quieras. Con esto podés conocer los escalares \( \alpha \) y \( \beta \) (\( k \) no te interesa) que es lo que pide el enunciado.

Si tenés alguna inquietud no dudes en consultar, mostrando en dónde te trabaste y tus esfuerzos.

Saludos

04 Septiembre, 2018, 11:15 am
Respuesta #2

feriva

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Por último, que un vector (la suma de tres vectores en este caso) sea paralelo a otro (en este caso el eje \( y \) se puede expresar como \( (0,1,0) \)) significa que existe un escalar \( k\in\mathbb R \) tal que \( \alpha\vec A+\beta\vec B+\vec C=k(0,1,0) \).

Lo que decía aquí estaba mal

Spoiler

Hola Manooooh, ¿me permite usted, buen hombre, hacer una apreciación?


Fíjate en que si el vector se representa así \( (0,k,0)
  \) no solamente es paralelo al eje “Y”, sino que es coincidente, está en el propio eje "Y"; y hay infinitos que son paralelos no coincidentes.

En general se trataría de que las coordenadas "equis" y "zeta" del vector resultante que nos piden tengan un valor constante, o sea, independiente de cualquier variable, pero no necesariamente cero.

(Por otro lado, esto ya como apunte en cuanto a la parte operativa, nos dicen que A=B=C, con lo que podemos hacer previamente A-B=0, A-C=0, B-C=0 e ir trabajando con eso; quizá pueda ser una buena opición).


Ah, no, perdón, que no son iguales, que no había visto la coma; ya me parecía raro con los vectores unitarios ahí; cada día veo menos  8^) :D





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Saludos.

04 Septiembre, 2018, 02:36 pm
Respuesta #3

hméndez

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Por último, que un vector (la suma de tres vectores en este caso) sea paralelo a otro (en este caso el eje \( y \) se puede expresar como \( (0,1,0) \)) significa que existe un escalar \( k\in\mathbb R \) tal que \( \alpha\vec A+\beta\vec B+\vec C=k(0,1,0) \).

Hola Manooooh, ¿me permite usted, buen hombre, hacer una apreciación?

Fíjate en que si el vector se representa así \( (0,k,0)
  \) no solamente es paralelo al eje “Y”, sino que es coincidente, está en el propio eje "Y"; y hay infinitos que son paralelos no coincidentes.

En general se trataría de que las coordenadas "equis" y "zeta" del vector resultante que nos piden tengan un valor constante, o sea, independiente de cualquier variable, pero no necesariamente cero.

...




feriva , con todo respeto, no quiero entrar en polémica, pero lo que apuntas no es correcto y pudiera causar una gran confusión
en usuarios que están aprendiendo. Te sugiero que revises lo que significan las representaciones vectoriales.
.
Saludos

04 Septiembre, 2018, 04:18 pm
Respuesta #4

feriva

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feriva , con todo respeto, no quiero entrar en polémica, pero lo que apuntas no es correcto y pudiera causar una gran confusión
en usuarios que están aprendiendo. Te sugiero que revises lo que significan las representaciones vectoriales..
Saludos



Efectivamente, estaba confundiendo cosas, perdón.


Spoiler
Hola, hméndez. No es que no sea correcto lo que digo (que sí lo es en cuanto a lo que tenía en la cabeza) es que al no hacer el problema he imaginado que las ecuaciones llevaban a otra cosa. Como siempre, esto me ha pasado por mirarlo como un paisaje, perdón por ello.

Lo que decía es que si el vector de una ecuación como, por ejemplo, \( x=x,\, y=\lambda.\, z=z
  \), es un vector de esta forma \( (cts_{1},\,\lambda,\, cts_{2})
  \) (tal que lambda es variable y “x,z” constantes, letras que no toman distintos valores mientras varía lambda) entonces, evidentemente, son vectores paralelos al eje “Y” que no están necesariamente en el eje Y.

Me explico mejor:

Si se hace referencia a la existencia de unos ejes, X,Y,Z y nos dan un vector de la base canónica, como por ejemplo \( \overset{\rightarrow}{e}=(1,0,0)
  \), este vector no esta en cualquier sitio, es un vector unidad que coincide en el eje X.

No está en cualquier sitio porque simplemente por hacer alusión a los ejes se alude también a la existencia de un origen de coordenadas (que, si no se dice nada, por convenio -creo-, es el punto (0,0,0) ). Se alude, en definitiva, al espacio afín (con sólo decir “ejes”).

Si multiplicas dicho vector por un escalar, \( \lambda(1,0,0)
  \) lo único que cambias es el módulo, pero sigue estando en el eje X. Por qué, pues porque las coordenadas “y,z” están clavadas, no las puedes cambiar con ningún escalar, ya que, el producto por cero es invariante.

¿De acuerdo?


Pero parece que no va de eso ahora que lo he estado mirando; me pasa una cosa:

Tenemos

“Si \( A=5i+3j+2k,B=-i+4j+6kyC=8i+2j
   \) halle los valores de Alfa y Beta tales que Alfa(A) + Beta (B) + C sea paralela al eje y”.

Veamos. Entiendo que (i,j,k) son los vectores unitarios (donde supongo que la unidad es el número real 1, o sea, los de la base canónica).

Entonces, suponiendo que sea correcto lo que interpreto, tendríamos

\( A=5i+3j+2k=5(1,0,0)+3(0,1,0)+2(0,0,1)=(5,3,2)
  \)

Asimismo

\( B=(-1,4,6)
  \) y \( C=(8,2,0)
  \).

Entonces (parece) nos piden los vectores paralelos a éste

\( \alpha(5,3,2)+\beta(-1,4,6)+(8,2,0)
  \)

y de ahí es

\( (5\alpha-\beta+8,\,3\alpha+4\beta+2,\,2\alpha+6\beta)
  \)

Pero ahí tenemos coordenadas de “vector” un poco raras; ¿no serán las rectas paralelas lo que piden, siendo C un punto, en vez de un vector? (pregunto no retórica).

Si no es así y son vectores todos (y tengo que insistir) la “corrección fraterna” que le he hecho a mi amigo Manoooh es más que procedente: los vectores paralelos a “Y” en general, no son todos, ni mucho menos, de esta forma (0,k,0); así que, antes de hacer las cuentas, sin que uno sepa lo que se puede encontrar al final del problema, es lógico considerar esa circunstancia y avisar de ello.
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Saludos y gracias.

06 Septiembre, 2018, 07:28 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Hola Manooooh, ¿me permite usted, buen hombre, hacer una apreciación?

Agradecido :).

Lo que decía es que si el vector de una ecuación como, por ejemplo, \( x=x,\, y=\lambda.\, z=z
  \), es un vector de esta forma \( (cts_{1},\,\lambda,\, cts_{2})
  \) (tal que lambda es variable y “x,z” constantes, letras que no toman distintos valores mientras varía lambda) entonces, evidentemente, son vectores paralelos al eje “Y” que no están necesariamente en el eje Y.

Me explico mejor:

Si se hace referencia a la existencia de unos ejes, X,Y,Z y nos dan un vector de la base canónica, como por ejemplo \( \overset{\rightarrow}{e}=(1,0,0)
  \), este vector no esta en cualquier sitio, es un vector unidad que coincide en el eje X.

No está en cualquier sitio porque simplemente por hacer alusión a los ejes se alude también a la existencia de un origen de coordenadas (que, si no se dice nada, por convenio -creo-, es el punto (0,0,0) ). Se alude, en definitiva, al espacio afín (con sólo decir “ejes”).

Si multiplicas dicho vector por un escalar, \( \lambda(1,0,0)
  \) lo único que cambias es el módulo, pero sigue estando en el eje X. Por qué, pues porque las coordenadas “y,z” están clavadas, no las puedes cambiar con ningún escalar, ya que, el producto por cero es invariante.

¿De acuerdo?


Pero parece que no va de eso ahora que lo he estado mirando; me pasa una cosa:

Tenemos

“Si \( A=5i+3j+2k,B=-i+4j+6kyC=8i+2j
   \) halle los valores de Alfa y Beta tales que Alfa(A) + Beta (B) + C sea paralela al eje y”.

Veamos. Entiendo que (i,j,k) son los vectores unitarios (donde supongo que la unidad es el número real 1, o sea, los de la base canónica).

Entonces, suponiendo que sea correcto lo que interpreto, tendríamos

\( A=5i+3j+2k=5(1,0,0)+3(0,1,0)+2(0,0,1)=(5,3,2)
  \)

Asimismo

\( B=(-1,4,6)
  \) y \( C=(8,2,0)
  \).

Entonces (parece) nos piden los vectores paralelos a éste

\( \alpha(5,3,2)+\beta(-1,4,6)+(8,2,0)
  \)

y de ahí es

\( (5\alpha-\beta+8,\,3\alpha+4\beta+2,\,2\alpha+6\beta)
  \)

Pero ahí tenemos coordenadas de “vector” un poco raras; ¿no serán las rectas paralelas lo que piden, siendo C un punto, en vez de un vector? (pregunto no retórica).

Si no es así y son vectores todos (y tengo que insistir) la “corrección fraterna” que le he hecho a mi amigo Manoooh es más que procedente: los vectores paralelos a “Y” en general, no son todos, ni mucho menos, de esta forma (0,k,0); así que, antes de hacer las cuentas, sin que uno sepa lo que se puede encontrar al final del problema, es lógico considerar esa circunstancia y avisar de ello.

¿Estás diciendo que un vector paralelo al eje \( y \) tiene la forma \( (a,k,c) \), con \( a \) y \( c \) constantes? ¿Pero luego cómo se resolvería el sistema de ecuaciones que propuse (si es que te entendí así)?

Pero ahí tenemos coordenadas de “vector” un poco raras; ¿no serán las rectas paralelas lo que piden, siendo C un punto, en vez de un vector? (pregunto no retórica).

Yo creo que \( \vec C \) es un vector :o.

Si querés compartinos tu solución así la discutimos, o mejor esperemos a Diego Sanchez que nos aclare mejor el enunciado que escribió, para no estar debatiendo supuestos sino cosas concretas.

Un saludo

06 Septiembre, 2018, 08:50 pm
Respuesta #6

feriva

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Hola, Manoooh.


¿Estás diciendo que un vector paralelo al eje \( y \) tiene la forma \( (a,k,c) \), con \( a \) y \( c \) constantes?

Eso decía, pero estaba equivocado; perdona, ahora edito todo y lo meto en spoiler.

No, efectivamente, todos son de la forma k(0,1,0) había visto fantasmas con las rectas y los puntos;

Si restamos dos puntos de una recta que tenga un punto fijo en un plano, ocurre \( (5,k_{1},6)-(5,k_{2},6)=(0,\, k_{1}-k_{2},\,0)
  \)

Luego estaba mal  :P  (mis cosas :D )

Spoiler

Sí, claro. Si tenemos unos ejes, tiene que existir un punto de corte entre ellos, no importa que no se sepa, sea P; ahí se cortan los ejes. Normalmente entenderemos el punto (0,0,0) en problemas prácticos, pero la cuestión no cambiaría aunque fuera otro; hay un origen de coordenadas y esos ejes están asociados a alguna base ortogonal que tiene unos determinados vectores en cuanto a dirección; entonces, no todos los paralelos a los ejes pasarán por el punto de corte, ¿no?

Tú pon que tienes un punto fijo, qué sé yo, en el plano XY, que se ve bien. Sea, por ejemplo, el punto fijo (3,5,z); y mientras tanto, la coordenada de Z del vector recorre todo los valores; así, tienes la recta x=3; y=5. Si fuera el punto fijo fuera (0,0,z) tendrías la recta x=0; y=0.
Qué tiene de especial aquí el cero; pues nada, es un punto como otro cualquiera del plano XY, ¿por qué la particularidad del vector (0,0,k)?

 La cuestión básica es cómo transformas con un escalar “k” este vector \( k(0,0,1) \)  en éste \( (3,5,k) \) o en cualquiera que en general sea (a,b,t) con “a,b” constantes y “t” variable. No se puede, es un vector invariante (salvo en lo que respecta al módulo y el sentido). En cambio, con éste k(a,b,1) tienes todos, tienes también este  k(0,0,1) haciendo a=0 y b= 0; nunca te vas a equivocar sea como sea el problema, al final “a” y “b” tendrán los valores que tengan que ser al resolver, es general, lo otro es particular.

Por eso te avisé, porque, como ya decía, sin haber hecho las cuentas, en principio es lo que se tiene en general. E incluso aunque tú vieras a ojo (que tienes mejores ojos que yo :) ) que solamente pudiera ser del tipo k(0,1,0), en otro problema podría no ser así; y es bueno avisarlo y enseñar a que se tenga la costumbre de tomar vectores generales k(a,1,b); si son cero a y b no pasa nada, ya saldrá al resolver el sistema y, si no hay datos, se deja en función de las constantes: x=x, z=z, como en cualquier ecuación analítica (como en los ejercicios de hallar los subespacios variantes e invariantes, por ejemplo).



...

En cuanto a la solución, sí, será un vector, pero es que en el enunciado lo dice en femenino (lo marqué en negrita) y  pensé que podría faltar algo en el enunciado y ser otra cosa, nada más que eso.
[cerrar]

Saludos.