Hola, estoy teniendo problemas al factorizar el siguiente polinomio en \( \mathbb{F}_5\left [ x \right ] \), alguien podria orientarme por favor
\( x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x \right ] \).
He aquí mi intento de lo que he podido entender: La idea es usar el algoritmo de Cantor&Zasenhauss.
Sea \( f(x) := x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x \right ] \Rightarrow f'(x) = 3x^3+4x^2+2x+2 \in \mathbb{F}_5\left [ x \right ] \). Luego, comprobamos que \( f(x) \) sea libre de cuadrados, ie que \( \gcd(f(x),f'(x))=1 \), lo cual no se verifica, ya que \( \gcd(f(x),f'(x))=x+2 \), por ende, hacemos \( g(x) := \dfrac{f(x)}{\gcd(f(x),f'(x))}=x^4+3x^2+2 \Rightarrow g'(x)=4x^3+x \) y así obtenemos que \( \gcd(g(x),g'(x))=1 \), ie \( g(x) \) es libre de cuadrados.
De aquí me empiezo a complicar: (Para los sgtes pasos me estoy guiando de acá
http://planetmath.org/cantorzassenhaussplit)
Usaré las mismas notaciones de la página anexa:
\( B_1 = A, \ B_{k+1} := \displaystyle\frac{A}{\gcd(B_k, x^{5^k}-x)} \)
Entonces, tenemos:
\( B_1 := x^4+3x^2+2 \)
\( B_2 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^5-x)}=x^3+2x^2+2x+4 \)
\( B_3 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^{25}-x)}=x^2+1 \)
Y luego cómo prosigo?? alguien puede ayudarme por favor
de antemano gracias
saludoss
