[martiniano]

Hola. Como ya he dicho varias veces en el foro, actualmente estoy estudiando la teoría de Galois. En el tema en el que me hallo ahora se ha visto el teorema fundamental de la teoría de Galois, y suelen abundar las preguntas del tipo: hallar el grupo de Galois de un polinomio cuyas raíces son fáciles de calcular algebraicamente, hallar todos los subcuerpos de su cuerpo de descomposición, indicar cuáles dan lugar a extensiones normales...

De repente me encuentro con bastantes problemas que no veo cómo resolver. Ahí va uno de ellos:

Calcular cuántos subcuerpos tiene el cuerpo de descomposición de \( P=x^5+3x^3-3x^2-9 \) sobre \( \mathbb{Q} \)

Lo primero que he hecho es verificar que el polinomio no tiene raíces enteras evaluando los divisores de 9. Luego he intentado factorizar el polinomio como producto de otros dos de segundo y tercer grado, pero no he sido capaz. En vista de esto, he intentado demostrar que el polinomio es irreducible, pero tampoco he podido, por lo menos no he visualizado un camino limpio para demostrarlo. Tampoco sabría cómo seguir en el caso de que el polinomio fuese irreducible.

En fin, que no sé cómo abordar este problema. ¿Alguien me podría dar un "empujoncito"?

Saludos y gracias de antemano por cualquier tipo de comentario.

[martiniano]

Vale, creo que ya lo tengo.

Es que \( P(x) =(x^3-3)(x^2+3) \). Si es que cuando uno se atasca no hay manera.

Saludos y gracias por si alguien le ha estado dando vueltas.

[martiniano]

Bueno, pues ya que estoy voy subir la conclusión a la que he llegado para zanjar esto y por si a alguien le interesa:

El cuerpo de descomposición de P es, finalmente: \( L=\mathbb{Q}(\sqrt[ 3]{3},i\sqrt[ ]{3}) \)

El grupo de Galois \( \mathcal{G}(L/\mathbb{Q}) \) me ha salido que es: \( \{Id,\sigma,\tau,\sigma\tau,\sigma\sigma,\tau\sigma\} \)

Donde \( \tau \) representa la conjugación compleja y \( \sigma \) deja fijas las raíces de \( x^2+3 \) y permuta las raíces de \( x^3-3 \) de la siguiente manera:

\( \sigma(\sqrt[ 3]{3})=\sqrt[ 3]{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}+i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\right) \)
\( \sigma\left(\sqrt[ 3]{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}+i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\right)\right)=\sqrt[ 3]{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}-i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\right) \)
\( \sigma\left(\sqrt[ 3]{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}-i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\right)\right)=\sqrt[ 3]{3} \)

Entonces \( \mathcal{G}(L/\mathbb{Q}) \) tiene cuatro subgrupos no triviales:

\( M_1=\{Id,\sigma,\sigma\sigma\} \)
\( M_2=\{Id,\sigma\tau\} \)
\( M_3=\{Id,\tau\sigma\} \)
\( M_4=\{Id,\tau\} \)

Entonces, por la teoría de Galois, los cuerpos fijos de cada uno estos cuatro subgrupos de automorfismos son los cuerpos intermendios de \( L/\mathbb{Q} \), que serían:

\( \mathbb{Q}(i\sqrt[ ]{3}),\mathbb{Q}\left(\sqrt[ 3]{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}+i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\right)\right),\mathbb{Q}\left(\sqrt[ 3]{3}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}-i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\right)\right) \) y \( \mathbb{Q}(\sqrt[ 3]{3}) \)

Espero que esté todo bien, aunque, francamente, me ha sorprendido que el segundo y el tercero no sean el mismo cuerpo.

Saludos.