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reglas del mismo así como el
tutorial del \( \LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Estudiar el signo de una función logarítmica donde el logaritmando es f(x) y la base es g(x) es equivalente a estudiar el signo de (f(x)-1)/(g(x)-1)
Quiero encontrar una demostración de lo anterior. Se que una vez la vi en algún libro, pero no lo encuentro...
Parece que necesitás estudiar que los conjuntos de positividad, negatividad y ceros de las funciones \( \log_{f(x)}{g(x)} \) y \( \dfrac{f(x)-1}{g(x)-1} \) son iguales. Entiendo que las funciones están definidas en los reales, si no es así por favor hacelo saber.
Por comodidad voy a llamar \( f(x)=a \) y \( g(x)=b \). Te voy a ayudar con el segundo caso.
Sabemos que un logaritmo \( \log_ba \) está definido si y sólo si \( a,b\in\mathbb R^+ \) con \( b\neq1 \), o sea \( a>0\wedge b>0\wedge b\neq1 \). Para hallar el conjunto de positividad debemos estudiar
\( \dfrac{a-1}{b-1}>0\wedge a>0\wedge b>0\wedge b\neq1 \). Entonces
\( \begin{array}{cl}
&[(a-1>0\wedge b-1>0)\vee(a-1<0\wedge b-1<0)]\wedge a>0\wedge b>0\wedge b\neq1\\
\Leftrightarrow&[(a>1\wedge b>1)\vee(a<1\wedge b<1)]\wedge a>0\wedge b>0\wedge b\neq1\\
\Leftrightarrow&(a>1\wedge b>1\wedge a>0\wedge b>0\wedge b\neq1)\vee(a<1\wedge b<1\wedge a>0\wedge b>0\wedge b\neq1)\\
\Leftrightarrow&(a>1\wedge b>1)\vee(0<a<1\wedge 0<b<1)\\
\therefore&C^+=\{a,b\in\mathbb R:(a>1\wedge b>1)\vee(0<a<1\wedge 0<b<1)\}\\
\Leftrightarrow&\boxed{C^+=\Big\lbrace f(x),g(x)\in\mathbb R:\big(f(x)>1\wedge g(x)>1\big)\vee\big(0<f(x)<1\wedge 0<g(x)<1\big)\Big\rbrace}\text.
\end{array} \)
El conjunto de negatividad se hace de manera similar y el de ceros es más fácil.
Con respecto a determinar cuándo \( \log_ba>0 \), \( \log_ba=0 \) y \( \log_ba<0 \) no sé ayudarte, pero supongo que viene implícito por la definición de logaritmo.
Saludos
