[hear]

Estimados un saludo, La siguiente ecuación creen ustedes tiene solución analítica (explicita)?
\( \sqrt[ 3]{x+P_3(x)}+\sqrt[ 3]{cx-\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}P_3(x)}+\left ({\sqrt[ 3]{c}+\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}}}}\right )\sqrt[ 3]{P_3(x)}=0;\,\, \,\, P_3(x)= a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0;\, -1< c <0 \vee c<-1  \). Dejen sus opiniones y luego les comparto mis conclusiones u observaciones.

Saludos!

[hear]

Estimados un cordial saludo, para hacer más emocionante la propuesta a continuación pongo un ejercicio donde propongo utilicen si es necesario algún software para encontrar la raíz.
   
Sea \( P_3(x)=2x^3+x^2-5x+3 \) Se pide encontrar la raíz de la siguiente Ecuación:

\( \sqrt[ 3]{x+P_3(x)}+\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{-2}{5}x-\sqrt[ ]{\left |{\displaystyle\frac{-2}{5}}\right |}P_3(x)}+\left ({\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{-2}{5}}+\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\left |{\displaystyle\frac{-2}{5}}\right |}}}}\right )\sqrt[ 3]{P_3(x)}=0 \) (1).
Pues bien yo resuelvo encontrando un valor q a saber: \( q\approx{-1.006802846} \) Luego resuelvo la ecuación \( P_3(x)=2x^3+x^2+(-5-q)x+3=0 \) de donde ud. puede verificar que \( x\approx{-1.933691466} \) y este es el valor de x que resuelve la ecuación (1). Después de que verifiquen el resultado si gustan pueden plantearme uno del tipo y contarme como les fue con los softwares en este sentido probando ecuaciones del tipo y si lo desean puedo darles la forma analítica de q.

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

 El resultado que das es correcto.

 Cuando preguntas si la ecuación tiene solución explícita, supongo que es una pregunta con trampa, en el sentido de que tu se la has encontrado.

 En principio no me sorprende; la ecuación tiene un aspecto extremadamente artificial, "ad hoc" para que adapte a un cierto método o cuentas que has estado trabajando.

Saludos.

[Abdulai]

Estimados un saludo, La siguiente ecuación creen ustedes tiene solución analítica (explicita)?
\( \sqrt[ 3]{x+P_3(x)}+\sqrt[ 3]{cx-\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}P_3(x)}+\left ({\sqrt[ 3]{c}+\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}}}}\right )\sqrt[ 3]{P_3(x)}=0;\,\, \,\, P_3(x)= a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \).
.................

Dividiendo todo por \( \sqrt[3]{P_3(x)} \)  se convierte en:

\( w + \displaystyle\sqrt[3]{cw^3-(c+\sqrt{|c|})} + \left(\sqrt[3]c + |c|^{-\frac{1}{6}} \right) = 0  \)    con  \( w=\displaystyle\sqrt[3]{\dfrac{x}{P_3(x)}+1} \)

Eso lleva a una ecuación de 3er grado en \( w \), que sólo depende de \( c \) , y con las raíces se halla \( x \) , que es otra ecuación del grado del polinomio elegido.

Es decir, tiene solución explícita, aunque para el caso general va a ser visualmente horrible.

[hear]

Gracias por vuestra respuesta! Es muy motivador recibirlas, en efecto Abdulai lo que presentas es un mecanismo válido para solucionar la ecuación me gustaría aportar con otra donde podamos seguir viendo los métodos factibles para resolverlas analíticamente.
Saludos!

[hear]

Estimados les voy a compartir la forma analítica de q.
[texx]q=\left [{\left ({\displaystyle\frac{2-3\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}-c}{c+1}}\right )^3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}}}\right ]^\textrm{-1}[/texx].
Alguna opinión sobre este descubrimiento? Les comento que estaba pensando en una ecuación del tipo de arriba pero con un polinomio de quinto grado como cantidad subradical, ahora bien la forma de la ecuación da para hacer la sustitución que hizo abdulai siempre pero avizoro que teniendo un polinomio de quinto grado podría desembocar en un problema no resoluble por radicales a priori que a su vez mi mecanismo sí pueda solucionar, lógicamente mi mecanismo no resolvería aun cualquier quintica pero si avizoro una que el mecanismo de sustitución no pueda...

[Luis Fuentes]

Hola

Estimados les voy a compartir la forma analítica de q.
[texx]q=\left [{\left ({\displaystyle\frac{2-3\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}-c}{c+1}}\right )^3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}}}\right ]^\textrm{-1}[/texx].
Alguna opinión sobre este descubrimiento?

No se muy bien que tipo de opinión quieres... ¿Qué comprobemos si está bien?¿Qué juzguemos su importancia?.

Les comento que estaba pensando en una ecuación del tipo de arriba pero con un polinomio de quinto grado como cantidad subradical, ahora bien la forma de la ecuación da para hacer la sustitución que hizo abdulai siempre pero avizoro que teniendo un polinomio de quinto grado podría desembocar en un problema no resoluble por radicales a priori que a su vez mi mecanismo sí pueda solucionar, lógicamente mi mecanismo no resolvería aun cualquier quintica pero si avizoro una que el mecanismo de sustitución no pueda...

Que no se pueda dar una fórmula general para resolver cualquier ecuación de quinto grado, no quiere decir que no se puedan dar soluciones para ecuaciones de quinto grado con un cierto formato.

Entonces no se muy bien que decirte sobre todo lo que estás haciendo: uno puede planteando cambios de variable "crear"  ecuaciones aparentemente complicadas (pero ojo, con un formato rígido y particular) y método para solucionarlos. Está bien, es casi como un juego.

Ahora bien, en principio la relevancia de esas fórmulas irán aparejadas de si realmente las ecuaciones que se resuelven tienen un formato que uno se pueda encontrar en la resolución de otro tipo de problemas, bien sean matemáticos o de otros campos de la ciencia.

Saludos.

[hear]

Hola

No se muy bien que tipo de opinión quieres... ¿Qué comprobemos si está bien?¿Qué juzguemos su importancia?.

La primera estaría bien porque la segunda es más complicada puesto que a priori sería no, dado que aún no se ha profundizado lo suficiente...

Entonces no se muy bien que decirte sobre todo lo que estás haciendo: uno puede planteando cambios de variable "crear"  ecuaciones aparentemente complicadas (pero ojo, con un formato rígido y particular) y método para solucionarlos. Está bien, es casi como un juego.

Te aseguro que no sale "jugando"...


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

La primera estaría bien porque la segunda es más complicada puesto que a priori sería no, dado que aún no se ha profundizado lo suficiente...

Pero, ¿por qué no muestras directamente como has llegado a esa expresión¿; es decir, ¿por qué no muestras directamente tu demostración  en lugar de andar con adivinanzas o esa especie de juego al gato y al ratón?.

Abdulai ya ha expuesto un método para reducir la ecuación a una resoluble de tercer grado. Entiendo que tu dices que tienes otro. Perfecto...¡explícalo!... pero no pretendas que nosotros adivinemos cuál es o como has llegado a él. No le veo sentido a eso.

Te aseguro que no sale "jugando"...

No lo decía en sentido peyorativo lo de jugando. Muchos grandes matemáticos han resuelto grandes problemas en matemática "jugando" en el sentido que yo lo digo.

En tu caso lo que quiero decir es que presentas desde el principio una ecuación a resolver extremadamente forzada y artificial.

Saludos.

[hear]

Hola, respondiendo el anterior comentario:

...Abdulai ya ha expuesto un método para reducir la ecuación a una resoluble de tercer grado. Entiendo que tu dices que tienes otro. Perfecto...¡explícalo!... pero no pretendas que nosotros adivinemos cuál es o como has llegado a él. No le veo sentido a eso.

Ok lo explico, para la ecuación particular del tipo:

Estimados un saludo, La siguiente ecuación creen ustedes tiene solución analítica (explicita)?
\( \sqrt[ 3]{x+P_3(x)}+\sqrt[ 3]{cx-\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}P_3(x)}+\left ({\sqrt[ 3]{c}+\sqrt[ 3]{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}}}}\right )\sqrt[ 3]{P_3(x)}=0\,\,\,(1)\,;\,\, \,\, P_3(x)= a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \).
.................

Se encuentra el valor de q:

Estimados les voy a compartir la forma analítica de q.
[texx]q=\left [{\left ({\displaystyle\frac{2-3\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}-c}{c+1}}\right )^3-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\left |{c}\right |}}}\right ]^\textrm{-1}[/texx].

Finalmente se resuelve: \( P_3(x)= a_3 x^3+a_2 x^2+(a_1-q) x+a_0=0 \). y la raíz de esta ecuación cúbica es la solución para la ecuación del tipo dado (1).

Uds. pueden observar que con mi método se resuelve solo una ecuación cúbica, la dada gracias al valor analítico de q que ya viene dado...

Con la solución de Abdulai se necesitan dos ecuaciones cúbicas para encontrar la solución a (1).

Esto es un problema como se dijo bastante artificial, pero sale de un modelo matemático que encontré investigando sobre ecuaciones polinómicas en una variable...