[novris]

Buenas, soy estudiante de física en su tercer año. Me encantan las matemáticas y me gustaría profundizar más de manera rigurosa en ramas para aprenderlas o entenderlas mejor, como las definiciones rigurosas de diferencial (dx,dy...), estadística, análisis complejo, integrales dobles, triples, de superficie, de volumen, espacios vectoriales... Y puede que aún más temas... Tengo dos preguntas:

1) ¿Me recomendáis algún libro para algunos de los temas citados en particular (tened en mente que no quiero un libro corto para físicos donde venga explicado rápido y sin ser riguroso)

2) Para estudiar esos temas por mi cuenta en un libro de matemáticas, ¿necesito tener conocimientos anteriores que no sean de bachiller o de mi carrera? Por ejemplo, trabajo muchísimos con variables, pero nunca nadie me la ha definido matemáticamente... Ni tampoco un número, supongo. Toda esa infinidad de cosas que conocemos intuitivamente pero en la que los físicos no entramos a definir, ¿son necesarias para el estudio de los temas que he dicho? En dicho caso, ¿alguien me recomienda algún libro/s para ello?

¡Muchísimas gracias por vuestra ayuda, un abrazo!

Edito: Se me olvida decir que a lo mejor hay algo más que no haya comentado que sea necesario para poder entender dichos libros, en cuyo caso, ¿alguien me podría decir de qué se trata?

[statistic_man]

Bueno los físicos tenéis la ventaja de que miráis las matemáticas con otros ojos a como lo hacemos los matemáticos. Siempre he admirado su capacidad de modelizar matemáticamente (cosa que a mí me cuesta mucho llevar cosas abstractas al mundo real).

Evidentemente para estudiar lo que quieres necesitan saber matemáticas a un nivel profundo (de carrera). Las integrales que solemos usar nosotros son las de Riemann en una y varias variables aunque no son las únicas (está la de Lebesgue, Stiljes...) Todo eso da lugar a una rama en matemáticas conocida como teoría de la medida.

Como curiosidad podrías iniciarte a la integral de Lebesgue para entender mejor los fundamentos de la de Riemann (dobles, triples...). Un libro no podría decirte ya que cuando estudié la carrera, el profesor nos daba los apuntes pero en internet puedes encontrar muchas cosas.

En cuanto a análisis complejo te recomiendo "Basic Complex Analysis" de Marsden y  Hofmann.

El concepto de diferencial es realmente hermoso pero sinceramente opino que los libros actuales lo explican demasiado técnico. Si te pillas en pdf el famoso libro de Newton "Method of fluxions" y eres capaz de traducirlo, puede flipar con las ideas que se manejan ahí. todo mucho más intuitivo, aunque eso sí, notacionalmente más confuso.

Quieres estudiar muchas matemáticas y de ramas distintas, luego es complicado darte una lista de títulos. No se puede estudiar un proceso estocástico si antes no sabe uno que es una variable aleatoria... Saludos  y ánimo.