Hola
En primer lugar notá que las letras \( i \) y \( j \) son índices; recorren toda una secuencia de "cosas" (matrices, sumatorias, etc.). Un índice \( i \) tiene asociado un conjunto de índices, llamémosle \( I \), que no es más que el conjunto de los naturales \( \mathbb N \) (itero la primera vez, luego otra vez, otra, ...). Razonamiento análogo para el índice \( j \).
1) Sé que no hay un contexto, pero no entiendo qué significa lo que hay debajo de este sumatorio:
\( \displaystyle\sum_{j:j\neq{i}}{A_{ij}} \)
El \( j: \) no entiendo muy bien para qué está, pero si aparece \( i\neq j \) pensalo con números: ¿\( 1\neq1 \)? ¿\( 5\neq5 \)? ¿\( 4\neq9 \)? Si \( A_{ij} \) representa el elemento en la fila \( i \) y columna \( j \) de una matriz cualquiera (en matemática, computación) entonces la sumatoria \( \displaystyle\sum_{i\neq j}{A_{ij}} \) significa la suma de todos los elementos que NO estén en la diagonal principal. O sea se estarían sumando \( A_{12},\;A_{13},\;A_{31},\;A_{79} \), y así, pero NO \( A_{11},\;A_{22},\dotsc \)
2) Y si alguien me pudiera confirmar que esta igualdad es cierta, le agradecería mucho:
\( \displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}}=\displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}} \) donde i=1,...,N
Mmmm... me tiro a la pileta
.
\( \displaystyle\sum_{i,j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}} \) significa simplemente el valor \( Q_{11}-Q_{11} \) sumado \( N \) veces. Pero \( Q_{11}-Q_{11}=0 \), así que estaríamos haciendo \( \displaystyle\sum_{i,j=1}^N{0}=\overbrace{0+\cdots+0}^{N\text{ veces}}=0 \). Fijate que los índices siempre están fijos en el primer elemento de nuestro ejemplo la matriz (el que está en la primera fila y columna, restado consigo mismo porque \( i=1 \) y también \( j=1 \)).
En cambio, \( \displaystyle\sum_{j=1}^N{Q_{ji}-Q_{ij}} \) es distinto. ¿Ves por qué?
Saludos
