Hola!
Dada la relación \( R \) definida en \( \mathbb N\times\mathbb N:(x,y)R(z,t)\Leftrightarrow{x\mid z}\wedge{y\leq t} \) halle las cotas inferiores, superiores, supremo e ínfimo del subconjunto \( B=\{(5,2),(5,3),(10,2),(10,4),(15,5)\} \).
Mi respuesta:
Supondremos que la relación \( R \) es de orden, o sea cumple con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. En particular, el sistema \( (\mathbb N\times\mathbb N,R) \) es ordenado y \( \varnothing\neq B\subset\mathbb N\times\mathbb N \).
Sean \( a,b,c,d \) elementos de \( \mathbb N\times\mathbb N \).
\( a \) es cota superior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \) cumple \( xRa \).
\( b \) es cota inferior de \( B \) si y sólo si para todo \( x\in B \) cumple \( bRx \).
\( c \) es supremo de \( B \) si y sólo si es el primer elemento del conjunto de cotas superiores.
\( d \) es ínfimo de \( B \) si y sólo si es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.
Veamos a través del diagrama de Hasse cómo están ordenados estos elementos:
No hay cotas superiores pues todos los elementos de \( B \) cumplen \( x\not Ra \), luego tampoco hay supremo. La única cota inferior es el par \( (5,2) \), que también resulta ser el ínfimo pues también es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.
¿Es correcto tanto los resultados como las justificaciones?
Gracias!
Saludos
