[mvm]

Hola Buenas tardes, estoy un poco desorientado con este problema, una ayuda porfa :

De un grupo de 10 personas se eligen 5 de forma equiprobable y se les pregunta si están a favor de una cierta ley. Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de personas a favor de la ley entre las 5. Supongamos que hay una persona a favor por cada nueve en contra.

a) Calcular la función de probabilidad de X.
b) Calcular la esperanza y la varianza de X.
c) Supongamos ahora que la población es de tamaño 10000 ¿podemos suponer un modelo binomial para X?, en este caso ¿varía mucho la esperanza y la varianza con respecto al modelo hipergeométrico?

Muchísimas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿No se trata directamente de aplicar una distribución hipergeométrica como dices en el título?.

 a) Hay \( 10 \) elementos totales, con 1 "a favor" entre ellos. Extraes \( 5 \). Se trata de una distribución hipergeométrica\( X\in HGeo(N,n,p) \) de parámetros \( N=10, \quad n=5,\quad p=1/10 \).

\(  P(X=k)=\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{Np}{k}\displaystyle\binom{N(1-p)}{n-k}}{\displaystyle\binom{N}{n}} \)

 b) \( E(X)=np \)
     \( V(X)=np(1-p)\displaystyle\frac{N-n}{N-1} \)

 c) Compara ahora que ocurre si tomas \( X\in HGeo(10000,5,1/10) \) frente a \( X\in Bin(5,1/10) \)

Saludos.

[mvm]

Hola el_manco, como siempre muchas gracias por tu gran ayuda. Sólo me queda una duda, que valor tendría \( k \)??

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Pues \( k \) varía de \( 0 \) a \( 5 \). Fíjate que te piden la función de probabilidad. Lo que te doy al indicar P(X=k) es la probabilidad de la variable aleatoria en sus posibles valores\(  0,1,2,3,4,5 \).

 La función de probabilidad sería:

\(  F(x)=P(X\leq x)=\begin{Bmatrix}{ 0}&\mbox{ si }& x<0\\\displaystyle\sum_{k=0}^n{} P(X=k)& \mbox{si}& x\in [n,n+1), \quad n\in \{0,1,2,3,4\}\\1 & \mbox{si}& x\geq 5\end{matrix} \)

Saludos.