Hola!
En toda Álgebra de Boole \( (A,+,\bullet) \), si
\( a\bullet\overline b\preceq c\quad\wedge\quad a+c=1_A \)
indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
1) \( \overline a=c \);
2) \( \overline c\preceq b \);
3) \( a\preceq c\;\;\wedge\;\;\overline b\preceq c \);
4) \( c=1_A \).
Para mí es la opción 2).
Sabemos que \( (A,+,\bullet) \) es equivalente a escribir la terna \( (A,\vee,\wedge) \), donde la primera operación binaria representa el supremo y la segunda es el ínfimo, con primer elemento \( 0_A \) y último elemento \( 1_A \).
Como es un Álgebra de Boole, el primer término cumple:
\( \begin{matrix}
&a\wedge\overline b\preceq c\\\\
\underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{Propiedad}\\\text{conocida}}&(a\wedge\overline b)\vee c=c\\\\
\underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{Distributiva}}&(a\vee c)\wedge(c\vee\overline b)=c\\\\
\underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{Hipótesis}}&(1_A)\wedge(c\vee\overline b)=c\\\\
\underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{Neutro y}\\\text{conmutatividad}}&\overline b\vee c=c\\\\
\underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{Propiedad}\\\text{conocida}}&\overline b\preceq c,
\end{matrix} \)
y acá es hasta donde llego, porque no sé si existe alguna propiedad que invierta los elementos para obtener \( \overline c\preceq b \). Podría seguir usando complemento miembro a miembro y concluir \( b\preceq\overline c \) pero no está entre las opciones. También está la opción 3), pero no tengo idea cómo demostrar que \( a\preceq c \).
¿O quizás sea otra la respuesta? ¿Alguna ayuda?
Gracias!
Saludos
