Hola,
Supongo que \( z^4=x^4+y^4 \) , para \( x,y,z \) enteros, coprimos dos a dos; \( x\,\vee\,y \) par.
Por tanto: \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \) y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:
\( z^2=p^2+q^2 \) ; \( x^2=2pq \) ; \( y^2=p^2-q^2 \) ; para \( p,q \) coprimos, uno de ellos par.
Como: \( p^2=y^2+q^2 \) \( \wedge \) \( z^2=p^2+q^2 \) . Serán asimismo soluciones en forma de ternas pitagóricas:
\( p=a^2+b^2 \) ; \( y=a^2-b^2 \) ; \( q=2ab \) \( \wedge \) \( z= c^2+d^2 \) ; \( p=c^2-d^2 \) ; \( q=2cd \)
, para \( a,b \) coprimos \( \wedge \) \( c,d \) coprimos; uno de cada pareja par, por ejemplo: \( b,d \) .
Por lo tanto: \( a^2+b^2=c^2-d^2 \) \( \wedge \) \( ab=cd \) .
Estrategia: Operando con estos datos nos damos cuenta que es bastante complicado obtener “ \( z \) “ en función lineal de \( a,b \) (que son los otros números enteros directamente implicados). Esto es extraño y nos señala un camino por donde atacar.
Como: \( z\,>\,p=a^2+b^2 \) ; entonces siempre podré decir que existirá un: \( z=a^2+w\,b^2 \) , para un “ \( w \) “ positivo, entero o racional.
De esta manera tengo que: \( c^2-d^2=a^2+b^2 \) \( \wedge \) \( c^2+d^2=a^2+wb^2 \) ; por lo que: \( c^2=a^2+b^2+d^2 \) \( \wedge \) \( c^2=a^2+wb^2-d^2 \) \( \wedge \) \( a^2+b^2+d^2=a^2+wb^2-d^2 \) . Y despejando: \( w=2\dfrac{d^2}{b^2}+1 \) . Como sabemos a partir de " \( ab=cd \) " que \( b\neq d \) , pero que tienen el mismo grado de paridad y que además \( b \) divide a parte de \( d \) (que es menor que " b " ) y a parte de \( c \) . Entonces no queda otra que concluir que “ \( w \) “ es un racional no entero.
Observamos que: \( z^2\,=\,p^2+q^2\,=\,(a^2+b^2)^2+(2ab)^2 \) \( \Rightarrow \) \( z^2=a^4+b^4+6a^2b^2 \) . Y que: \( z^2\,=\,(a^2+wb^2)^2\,=\,a^4+w^2b^4+2wa^2b^2 \) . Igualando: \( a^4+b^4+6a^2b^2=a^4+w^2b^4+2wa^2b^2 \) \( \wedge \) \( b^2+6a^2=w\,(wb^2+2a^2) \) .
Como el producto \( w\cdot b^2 \) debe ser entero para que " \( z \) " sea entero y \( w \) es un irreducible de la forma -por ejemplo- " \( \dfrac{w_1}{w_2} \) " ; llamamos " \( e=w\,b^2 \) " a este nuevo entero y entendemos que \( w_2 \) divide á \( b^2 \) . Tendremos: \( b^2+6a^2=w\,(e+2a^2) \) y dividiendo entre 2: \( \dfrac{b^2}{2}+3a^2=w\,(\dfrac{e}{2}+a^2) \) . La parte de la izquierda de la ecuación es impar (porque \( b \) es par y \( a \) es impar); pero ahora quiero averiguar si la parte derecha sin el factor “ \( w \) “ es par o impar. Y lo quiero saber para conocer cómo incide posteriormente “ \( w \) “ al multiplicarlos. Ya sabemos que debe de dejar un impar para ser igual al otro lado de la ecuación. Para ello he de conocer si \( \dfrac{e}{2} \) es par ó impar; o lo que es lo mismo: si “ \( e \) “ es par de por lo menos 4. Veamos:
Tenemos que \( z=c^2+d^2 \) . “ \( c \) “ es un impar al cuadrado, por ejemplo: \( (2c_1-1)^2 \) y “ \( d \) “ es par: \( (2d_1)^2 \) . Luego: \( z=4c_1^1+1-4c_1+4d_1^2 \) . De esta manera \( z-1 \) será par de por lo menos 4. Por lo tanto: \( z=a^2+e \) ( “ \( a \) “ es impar: \( 2a_1-1 \) ) , será: \( z=4a_1^2+1-4a_1+e \) \( \wedge \) \( z-1=4a_1^2-4a_1+e \) . Luego como \( z-1 \) es par como mínimo de 4; entonces \( e \) debe serlo también.
Ahora ya sabemos que \( \dfrac{e}{2}+a^2 \) es impar. Luego multiplicado por “ \( w \) “ lo deja como está en cuanto a la paridad: impar; para ser igual al otro lado de la ecuación. Analicemos en detalle qué ocurre:
" \( \dfrac{w_1}{w_2}\,(\dfrac{e}{2}+a^2) \) " y : ni “ \( w_1 \) “ ni “ \( w_2 \) “ pueden ser pares -recordemos que hablamos de un irreducible \( \left({\dfrac{w_1}{w_2}}\right) \)- y que el cociente entre un par ( \( w_1 \) ) y un impar ( \( w_2 \) ) daría lugar a un par que como vemos no se añade al resultado final.
¿Qué debió ocurrir entonces cuando \( e=\dfrac{w_1}{w_2}\,b^2 \) ? Pues que no varió tampoco la paridad de \( b^2 \) . Es decir: Que “ \( e \) “ y “ \( b^2 \) “ tienen la misma paridad y aquí es dónde yo quería llegar.
Veamos:
1) \( z^2-y^2=p^2+q^2-p^2+q^2=2q^2 \) . Luego: \( \displaystyle\frac{z^2-y^2}{2}=q^2 \) \( \wedge \) \( q^2=\displaystyle\frac{(z+y)\,(z-y)}{2} \) . Como: \( \pmb{z+y}=a^2+w\,b^2+a^2-b^2\,=\,\pmb{2a^2+e-b^2} \) \( \wedge \) \( \pmb{z-y}=a^2+w\,b^2-a^2+b^2\,=\,\pmb{e+b^2} \) , y los 2 factores son pares; es evidente que " 2 " divide á " \( z+y \) " haciéndolo "impar" \( \left({a^2+\displaystyle\frac{e-b^2}{2}}\right) \) y un cuadrado (pues ambos factores son comprimos entre sí e iguales a un cuadrado) y " \( z-y \) " será el otro cuadrado "par" : \( e+b^2 \) .
2) \( z^2-p^2=p^2+q^2-p^2=\,q^2\,=\,(z+p)\,(z-p) \) . Así: \( \pmb{z+p}=a^2+w\,b^2+a^2+b^2\,=\,\pmb{2a^2+e+b^2} \) \( \wedge \) \( \pmb{z-p}=a^2+w\,b^2-a^2-b^2\,=\,\pmb{e-b^2} \) . Y los 2 factores son también pares y esto ya es extraño, porque deberían ser cuadrados (al ser coprimos entre sí). Intentemos salvar la situación. Podrían ser los 2 cuadrados pares, pero a simple vista se ve que no porque el primero es par sólo de 2. Probemos entonces en dividir entre 4 (entre 2 no puedo si quiero mantener que \( q^2 \) sea un cuadrado). Entonces " \( z+p \) " sería el impar: \( a^2+\displaystyle\frac{e+b^2}{2} \) y podría ser un cuadrado. Pero " \( z-p \) " sería el par: \( \displaystyle\frac{e-b^2}{2} \) . Pero ¿cómo podría ser un "cuadrado" par? Teniendo \( e \) la misma paridad que \( b^2 \) muy difícilmente. Supongamos no obstante lo siguiente (para \( b \) igual a par de 2); nos encontraríamos ante una situación de: 4 - 4 y luego ante un " impar - impar " igual por ejemplo á 2 que diera lugar en total a una paridad de 8, que dividido entre 2 sí fuera un par cuadrado. Pero entonces ¿qué ocurriría con \( z-y=e+b^2 \) , que también es un cuadrado? : Pues que no podría serlo. Es decir: ó " \( \dfrac{z^2-y^2}{2} \) " es un cuadrado ó " \( z^2-p^2 \) " lo es; no los 2. Pero sin embargo de la ecuación de partida se deduce que ambos lo son.
Un saludo,
PD. Creo que se puede simplificar. Ahora tengo unos días de vacaciones y me es difícil abordarlo. Además primero me gustaría averiguar si la idea tiene algún fallo troncal, claro.