Hola me dan \( z_1\neq{}0 \) que es una de las raíces sextas de \( w \in{}C \), me piden calcular las raíces cúbicas de \( w \).
Bien, yo hago lo siguiente:
\( w=\rho e^{i(\theta +2\pi k)} \)
La raíces sextas serán de la forma:
\(
\left(w\right)^{1/6}=\rho^{1/6}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{6}}=z_1 \)
La raíz cúbica de \( w \) sera:
\(
\left(w\right)^{1/3}=\rho^{1/3}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{3}} \)
\( z_1^2=\rho^{1/3}e^{\frac{i(\theta +2\pi k)}{3}} \)
Entonces la raíz cúbica de \( w \) sería \( z_1^2 \).
El problema es que de las soluciones que me dan el ejercicio ninguna se corresponde a esta. Dónde he fallado. saludos
Soluciones
a)[texx]e^{\frac{2πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]
b)[texx]-e^{\frac{2πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]
c)[texx]e^{\frac{πi}{3}}\cdot{}z_1^2[/texx]
Hay algo que no veo claro, al principio dices que debes calcular las raices cúbicas de w, pero al final creo que buscas una sola.
Si se trata de buscar una cualquiera de las tres distintas que existen, a partir de una cualquiera de las raices sextas de w, entonces:
\( z_{1}=w^{1/6} \)
\( z_{1} ^2=w^{1/3} \) (una raiz cúbica de w)
\( z_{1} ^2 \) es una raiz cúbica de \( w \) las otras dos que faltan son por ejemplo \( e^{\frac{2\pi}{3}i}z_{1} ^2\;,\;e^{\frac{4\pi}{3}i}z_{1} ^2 \) (para argumentos en el intervalo \( [0, \;2\pi) \)).
Obviamente de las tres raices solo la segunda ( \( e^{\frac{2\pi}{3}i}z_{1}^2 \) ) sería la única opción correcta (respuesta a).
Saludos
