Hola.
A mí la primera me parece falsa. Pero no entiendo tu razonamiento:
Si \( Au_1=b \)
Si \( Bu_2=b \)
Aquí parece que has llamado \( u_1 \) a la solución del primer sistema, y \( u_2 \) a la del segundo.
a) \( (A+B)x=b \)
\( Au_1+Bu_1=b \)
Estoy no lo entiendo... No...
\( b+Bu_1=b \) No sería sistema compatible porque no sabemos el valor de \( Bu_1 \).
Pero es que esto último no es un sistema... No hay incógnitas, no sabría decir exactamente qué es...
Para demostrar que a) es falsa busca un contraejemplo sencillo, es lo mejor.
b) \( ABx=b \)
\( ABu_2=b \)
\( Ab=b \) No sería sistema compatible porque no sabemos el valor de \( Ab \).
Aquí me pasa lo mismo. No entiendo qué quieres decir... La b) es verdadera
Spoiler
\( Ax=b \) compatible determinado \( \Rightarrow{}det(A)\neq{}0 \)
\( Bx=b \) compatible determinado \( \Rightarrow{}det(B)\neq{}0 \)
Entonces:
\( det(AB)=det(A)det(B)\neq{}0 \) \( \Rightarrow{} \) \( ABx=b \) es compatible determinado
Estaría bien mi razonamiento o podría ser sistema compatible determinado para alguno de estos dos casos.
En el apartado a) \( (A+B)x=b \) puede ser compatible determinado o indeterminado o incompatible... Se trata de demostrar que no siempre es compatible determinado y para eso basta que halles un contraejemplo.
En el apartado b) \( ABx=b \) siempre será compatible determinado.
Espero que te sirva. Saludos.
