[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Determine el intervalo de convergencia de \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=o}^\infty{\displaystyle\frac{x^n}{n!}} \) . Demuestre que \( f^{\prime}=f \)

Lo que he hecho:

Por el test del radio:

\(  \lim_{n\rightarrow \infty} \left |\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{x^n}{n!}}\right | \)
\( =\lim_{n\rightarrow \infty}|x|\dfrac{n!}{(n+1)!} \)
\(  =\lim_{n\rightarrow \infty} \ \dfrac{|x|}{n+1}=0 \)

Como el límite es menor que 1 independiente de los valores de \( x \) la serie converge para todo \( x \) . Por lo tanto su invervavo de convergencia es
\( -\infty<x< + \infty \)

Como demuestro que \( f^{\prime}=f \)

De antemano gracias


Saludos

[manooooh]

Hola!

Cómo demuestro que \( f^{\prime}=f \)

Bueno, puede que esto de un poco a confusión pero ¡realmente es muy fácil! Volvamos a nuestra función original:

\( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^n}{n!}} \).

¿De quién depende \( f \)? De \( x \), por tanto si queremos derivar la función para obtener \( f'(x) \), debemos derivar todo lo que dependa de \( x \). Es claro que es lo que está marcado en rojo: \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{{\color{red}x^n}}{n!}} \). La derivada, por tanto, es

\( f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{nx^{n-1}}{n!}} \).

Intentá hallar su radio de convergencia; verás que se cumple para todo \( x \) real, como \( f(x) \). Por tanto, en intervalos de convergencia, \( f'(x)=f(x) \).

Solución (primero intentalo vos)

\( \begin{matrix}
\text{Intervalo}&=&\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|}\\\\
&=&\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac{(n+1)\cancelto{1}{x^n}}{{(n+1)}!}\cdot\dfrac{n!}{n\cancelto{1/x}{x^{n-1}}}\right|}\\\\
&=&|x|\cdot\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac{(n+1)n!}{(n+1)n!n}\right|}\\\\
&=&|x|\cdot\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac1n\right|}\\\\
&=&|x|\cdot0,
\end{matrix} \)

por tanto

\( \begin{matrix}
\text{Intervalo}&=&\mathbb R.
\end{matrix} \)

[cerrar]

Saludos

[cristianoceli]

Hola!

Cómo demuestro que \( f^{\prime}=f \)

Bueno, puede que esto de un poco a confusión pero ¡realmente es muy fácil! Volvamos a nuestra función original:

\( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^n}{n!}} \).

¿De quién depende \( f \)? De \( x \), por tanto si queremos derivar la función para obtener \( f'(x) \), debemos derivar todo lo que dependa de \( x \). Es claro que es lo que está marcado en rojo: \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{{\color{red}x^n}}{n!}} \). La derivada, por tanto, es

\( f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{nx^{n-1}}{n!}} \).

Intentá hallar su radio de convergencia; verás que se cumple para todo \( x \) real, como \( f(x) \). Por tanto, en intervalos de convergencia, \( f'(x)=f(x) \).

Solución (primero intentalo vos)

\( \begin{matrix}
\text{Intervalo}&=&\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|}\\\\
&=&\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac{(n+1)\cancelto{1}{x^n}}{{(n+1)}!}\cdot\dfrac{n!}{n\cancelto{1/x}{x^{n-1}}}\right|}\\\\
&=&|x|\cdot\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac{(n+1)n!}{(n+1)n!n}\right|}\\\\
&=&|x|\cdot\lim\limits_{n\to\infty}{\left|\dfrac1n\right|}\\\\
&=&|x|\cdot0,
\end{matrix} \)

por tanto

\( \begin{matrix}
\text{Intervalo}&=&\mathbb R.
\end{matrix} \)

[cerrar]

Saludos

    
Muchas gracias.
Muy claro. Saludos