En primer lugar tenemos que fijado \( x>0 \), la serie numérica \( \displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(-1)^i\dfrac{1}{x+i}} \) converge pues la sucesión de sus términos \( a_n(x)=\dfrac{1}{x+n} \) es decreciente y tiene límite cero.
Así, sabemos que la serie de funciones dada converge puntualmente en \( (0,+\infty) \).
Ahora, para la convergencia uniforme, tenemos que para la sucesión de funciones \( R_n(x)=\displaystyle\sum_{i=n+1}^\infty{(-1)^i\dfrac{1}{x+i}} \) se cumple que
\( \left |{R_n(x)}\right |<a_{n+1}(x)=\dfrac{1}{x+n+1} \)
y tendremos también que
\( \sup \{\left |{R_n(x)}\right |: x \in (0,+\infty)\}<\dfrac{1}{n+1} \)
Con esto, dado que \( \dfrac{1}{n+1} \) converge a cero, tenemos que efectivamente \( R_n(x) \) converge uniformemente a cero en \( (0,+\infty) \), lo que es equivalente a que la serie de funciones original también converja uniformemente en este intervalo, pues observerse que dado que hemos visto que la serie converge puntualmente a cierta función \( f(x) \) es claro que \( R_n(x)=f(x)-\displaystyle\sum_{i=0}^n{(-1)^i\dfrac{1}{x+i}} \).
Con esto, dado que la serie de funciones converge uniformemente en \( (0,+\infty) \) y que \( f_n(x)=(-1)^n\dfrac{1}{x+n} \) son continuas en cada punto de este intervalo, concluimos que efectivamente \( f \) es continua en \( (0, +\infty) \).
Por último, tenemos que \( f_n'(x)=(-1)^{n+1}\dfrac{1}{(x+n)^2} \), luego cada función \( f_n(x) \) tiene derivada continua en \( (0, +\infty) \) y además, aplicando los mismos criterios que antes, podemos ver que la serie de funciones \( \displaystyle\sum_{i=0}^\infty{f_i'(x)} \) es también uniformemente convergente en \( (0,+\infty) \).
Con esto, podemos concluir que \( f \) es diferenciable en cualquier intervalo compacto \( I \) contenido en \( (0, +\infty) \), aunque no se decirte en el intervalo completo.
Un saludo.
