[zimbawe]

Hola, antes que nada aclaro que es muy poco lo que sé sobre este tema, sin embargo tengo una solución para un problema que vi y quería saber si era correcta.
Sea \( a_n\geq{0} \)
Debo probar que si:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i \) diverge, entonces:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{a_i}{1+a_i}} \) diverge.
Cómo:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{a_i}{1+a_i}}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1-\displaystyle\frac{1}{1+a_i}} \)
Puedo decir:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+a_i}}\longrightarrow{0} \)?

[zimbawe]

Mi última afirmación es falsa. ¿Podría aplicar el criterio de la razón?

[delmar]

Hola

Para el caso en que \( \exists{M\in{Z^+}} \ / \ si \ n\geq{M}, \ a_n>0 \) se puede aplicar el criterio de comparación :

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a_n}{1+a_n}}{a_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{1}{1+a_n}} \)

En el caso de que \( \exists{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}}=L \), la serie  \( \displaystyle\sum_{}^ {}\displaystyle\frac{a_n}{1+a_n} \) diverge al igual que\(  \displaystyle\sum_{}^{}a_n \), por el criterio de comparación.

Saludos

[zimbawe]

Hola Delmar ¿Pero las conclusiones de dónde se derivan en el segundo caso, o sea, cómo se comparan? Sería por qué el límite es mayor que cero o por qué?

[Juan Pablo Sancho]

Otro camino:

Supongamos que \( \displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{a_i}{a_i+1}  \) converge, entonces:
Ponemos \( \displaystyle \dfrac{a_i}{a_i+1}  = \eta_i  \) queda \( a_i = \eta_i \cdot a_i + \eta_i  \)
\(  a_i \cdot (1-\eta_i) = \eta_i  \).
La serie \( \displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} a_i \cdot (1-\eta_i)  \) diverge y \( \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} \eta_i  \) converge.

[delmar]

Hola Delmar ¿Pero las conclusiones de dónde se derivan en el segundo caso, o sea, cómo se comparan? Sería por qué el límite es mayor que cero o por qué?

Lo importante es que \( \exists{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a_n}{1+a_n}}{a_n}}}=A \) y \( A\geq{0} \), esto se da cuando \( \exists{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}}=L, L\in{R} \) evidentemente en caso exista \( L\geq{0} \). Ojo incluso se da cuando \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}=+\infty \)


Saludos

[zimbawe]

Muchas gracias.