[Quema]

Para dos variables aleatorias \( X,Y \) y una función cóncava \( f \), aplicando la desigualdad de Jensen se puede probar que \( Ef(aX+(1-a)Y)\geq{}aEf(X)+(1-a)Ef(Y) \)
Ahora, ¿es también cierto
\( Ef(X+Y)\geq{}Ef(X)+Ef(Y) \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 Por ser \( f \) cóncava:

 \( f(ax+(1-a)y)\geq af(x)+(1-a)f(y) \)

 Y de ahí se deduce tu primera desigualdad.

 Además podemos afirmar que:

\(  f(x+y)\geq \displaystyle\frac{1}{2}(f(2x)+f(2y)) \)

 de donde tendríamos que:

\(  Ef(X+Y)\geq \displaystyle\frac{1}{2}(Ef(2X)+Ef(2Y)) \)

 Sin embargo lo que no podemos asegurar es que:

\(  f(x+y)\geq f(x)+f(y) \)

 Falla por ejemplo para la función cóncava: \( f(t)=-t^2 \). Ya que:

\(  f(x+y)=-(x+y)^2 \)

\(  f(x)+f(y)=-x^2-y^2 \)

 y no es cierto siempre que:

\(  -(x+y)^2\geq -x^2-y^2 \)

 Por tanto en general no es cierto que:

\( Ef(X+Y)\geq{}Ef(X)+Ef(Y) \)

Saludos.