[escarabajo]

Buenas, tengo una duda acerca de este problema, quiero ver si está bien hecho.

Se tiene un espacio de probabilidad y A,B y C tres sucesos. Expresar mediante operaciones con conjuntos los sucesos que se corresponden a:

Ocurre exactamente uno de los 3 sucesos.

Yo lo pensé así,

Ocurre A, entonces no ocurren ni B ni C, el conjunto que corresponde a esta situación sería: \( A\cap{}((B\cup{}C)^c)  \)

Ocurre B,pero no ocurren ni A ni C, entonces: \( B\cap{}((A\cup{}C)^c) \)

Ocurre C, pero no ocurren ni A ni B, entonces: \( C\cap{}((A\cup{}B)^c) \)

Esas son las 3 posibilidades, ahora me viene la duda, ¿estaría bien decir que la unión de esos 3 conjuntos representa la posibilidad de que ocurra lo que piden?

No lo veo muy claro,agradezco si alguien me puede alumbrar.

La siguiente que hay que hacer es: Ocurren al menos dos de los 3 sucesos.

En el caso de que lo que hiciera anteriormente estuviera bien, para esta pregunta se me ocurre plantear algo similar:

-Ocurren A y B
-Ocurren B y C
-Ocurren A y C
-Ocurren los 3.

No es muy largo de describir, pero en el caso que fueran 20 sucesos, y te dijeran  que ocurren al menos 12, ¿hay algún método o forma más sencillo que se pueda utilizar?

Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 A pesar de que mis conocimientos sobre estadística y probabilidad son poco más que nulos, me aventuro a contestarte.

 El razonamiento que hiciste para encontrar la probabilidad de que uno de los sucesos ocurra es correcto (i.e. la unión de los conjuntos que mostraste da la probabilidad buscada).

 La probabilidad de que ocurran almenos dos sucesos a la vez la puedes calcular también mediante la diferencia de probabilidades de \( A\cup B\cup C \) y la probabilidad encontrada antes.

 Supongo que existe algún método abreviado para calcular este tipo de probabilidades, pero lo desconozco.

Saludos.

[escarabajo]

Gracias por responder Braguildur!!

Dejo planteada ésta pregunta entonces:

No es muy largo de describir, pero en el caso que fueran 20 sucesos, y te dijeran  que ocurren al menos 12, ¿hay algún método o forma más sencillo que se pueda utilizar?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 El suceso: "ocurren al menos dos sucesos de \( A,B,C \)" sería:

\(  (A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C) \)

 No añadimos que ocurran los tres al tiempo, porque eso ya está inlcuído en que ocurran al menos \( A \) y \( B \).

 Análogamente si tenemos \( 20 \) sucesos \( A_i \), el suceso "ocurren al menos 12 de ellos" sería:

\( \bigcup_{1\leq i_1<\ldots<i_{12}\leq 20}\bigcap_{1\leq k\leq 12}A_{i_k} \)

Saludos.

[escarabajo]

Hola, gracias el_manco.

Pero creo que quedé en "offside".

No me queda clara la formulita al final generalizando a los 20 casos.

Haciendo dibujitos,lo que deduzco es que si de n sucesos me piden que pasen al menos m de ellos, entonces tengo que unir todos aquellos conjuntos posibles obtenidos de la intersección de m de los n.... ¡¡que quilombo!! No sé si logro explicar mi deducción, cualquier cosa intento ser más claro.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Para tres conjuntos ves claro que es esto:

\(  (A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C) \)?

 Por otra parte, esto que dices aquí:

Haciendo dibujitos,lo que deduzco es que si de n sucesos me piden que pasen al menos m de ellos, entonces tengo que unir todos aquellos conjuntos posibles obtenidos de la intersección de m de los n

 Es exactamente esta expresión:

\( \bigcup_{1\leq i_1<\ldots<i_{12}\leq 20}\bigcap_{1\leq k\leq 12}A_{i_k} \)

 Fíjate que escoger \( 12 \) índices distintos entre \( 1 \) y \( 20 \) equivale a tomar de todas las formas posibles i\( _1,\ldots,i_{12} \) verificando  \( 1\leq i_1<\ldots<i_{12}\leq 20 \).

Saludos.

[escarabajo]

Bien, ahora si creo que me quedó la idea.

El tema de los subíndices es el que me mareaba.

Gracias!!

Saludos.