[hugazo]

Saludos,

Este no es un problema propio de Topologia, sino de Teoría de Categorías, que cómo no encontré un apartado para ella, ubique en esta sección, disculpas de antemano.

Necesito demostrar que para cualquier categoria, dado un pullback:
\(
\begin{array}{ccccc}
M'\xrightarrow{\;\;\;\;\;\;\;\;}M\\
m'\downarrow{\;\;\;\;\;}\;\;\;\;\;\downarrow{} m\\
A'\xrightarrow{\;\;\;\;f\;\;\;\;}A
\end{array}
 \)
Si m es un monomorfismo, entonces m' tambien lo es.

He probado extender el diagrama. Dado que m es un monomorfismo, puedo inferir que existen  morfismos entre \(  g,h: M' \longrightarrow M | m\circ g = m \circ h \Rightarrow{} g = h \). Adicionalmente, puedo extender el pullback haciendo uso de la propiedad universal de manera que existe otro pullback \( \langle Z, Pm, Pa \rangle  \) donde Z es otro objeto; Pm, Pa son morfismos entre Z y M/A respectivamente y e es un morfismo entre Z y M'.

Usando estas definiciones debería ser capaz de probar que $m´$ es tambien un monomorfismo, sin embargo pruebo las sustituciones de las ecuaciones resultantes (empezando por \(  m \circ Pm = f \circ Pa \) pero sólo logro a llegar a \(  Pm = g \circ e  \)

Podría alguno darme una sugerencia de cómo probar este enunciado. Creo que adicionalmente la prueba en ¨todas las categorias¨ debería de realizarse en el contexto de una categoría de categorías, pero no vieo cómo esto afecte la prueba. En que estoy fallando?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes el siguiente Pullback:

 \(  \xymatrix{M' \ar[r]^g \ar[d]_{m'}& M \ar[d]^m \\ A' \ar[r]_f & A  } \)

 Además de la conmutatividad del diagrama nos proporciona la siguiente propiedad universal:

 \( \xymatrix{X \ar@(r,u)[rrd]_{\tau} \ar@(d,l)[ddr]_{\sigma} \ar@{-->}[rd]_h & & \\ & M' \ar[r]^g \ar[d]_{m'}& M \ar[d]^m \\ & A' \ar[r]_f & A  } \)

 Es decir, dados \( X \), \( \tau\in Hom(X,M) \), \( \sigma\in Hom(X,A') \) verificando que \( m\circ \tau=f\circ \sigma \) existe un único \( h\in Hom(X,M') \) tal que \( g\circ h=\tau \) y \( m'\circ h=\sigma \):

 Entonces supongamos que \( m \) es un monomofismo y veamos que \( m' \) también lo es.

 Tienes que comprobar que dado \( X \) y \( \alpha,\beta \in Hom(X,M') \):

 \( m'\circ \alpha=m'\circ \beta\quad \Rightarrow{}\quad \alpha=\beta \)

 \( \xymatrix{X \ar@(d,l)[ddr]_{m'\circ \alpha=m'\circ \beta} \ar@/^/[rd]^{\alpha} \ar@/_/[rd]_{\beta} & & \\ & M' \ar[r]^g \ar[d]_{m'}& M \ar[d]^m \\ & A' \ar[r]_f & A  } \)

 Vamos a ello:

\(  m'\circ \alpha=m'\circ \beta\quad \Rightarrow{}\quad f\circ m'\circ \alpha=f\circ m'\circ \beta \quad \Rightarrow \quad m\circ g\circ \alpha=m\circ g\circ \beta \)

 Ahora por ser \( m \) monomorfismo de ahí deducimos que \( g\circ \alpha=g\circ \beta \) (*).

 Finalmente aplicamos la propiedad universal a \( \tau=g\circ\alpha  \) y \( \sigma=m'\circ \alpha \). Como:

 \( m\circ \tau=m\circ g\circ \alpha=f\circ m'\circ \alpha=f\circ h \)

 Existe un único \( h \) tal que:

 \( g\circ h=\tau=g\circ \alpha \)
\( m'\circ h=\sigma=m'\circ \alpha \)

 Pero trivialmente \( \alpha \) cumple esas dos condiciones y por hipótesis y por (*) también \( \beta \). Luego por la unicidad de \( h \):

 \( \alpha=h=\beta \).

Saludos.