[iannuevo]

Hola, no se bien como funciona este tipo de ejercicios, y quería dejar este mas o menos basico para poder guiarme mas adelante:

Dada la función \( w(z)=z^{4} \)
a) Hallar funciones reales \( u(x,y) \) y \( v(x,y) \) tales que \( w=u+iv \)
b) Demostrar que \( u \) y \( v \) son armónicas.
c) Calcular \( dw/dz \)

No se muy bien como comenzar, tengo que empezar derivando \( z^4=(x+iy)^4  \)respecto a \( x \) e \( y \)? No se muy bien luego que hacer con eso. Igual, no estoy seguro que sea así. Espero me puedan ayudar sobre eso. Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, no se bien como funciona este tipo de ejercicios, y quería dejar este mas o menos basico para poder guiarme mas adelante:

Dada la función \( w(z)=z^{4} \)
a) Hallar funciones reales \( u(x,y) \) y \( v(x,y) \) tales que \( w=u+iv \)
b) Demostrar que \( u \) y \( v \) son armónicas.
c) Calcular \( dw/dz \)

No se muy bien como comenzar, tengo que empezar derivando \( z^4=(x+iy)^4  \)respecto a \( x \) e \( y \)? No se muy bien luego que hacer con eso. Igual, no estoy seguro que sea así. Espero me puedan ayudar sobre eso. Gracias.

Pues si tienes \( z=x+iy \) entonces:

\( w(x+iy)=(x+iy)^4=x^4+4x^3(iy)+6x^2(iy)^2+4x(iy)^3+(iy)^4=x^4-6x^2y^2+y^4+i(4x^3y-4xy^3) \)

Es decir:

\( w(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \)

con:

\( u(x,y)=x^4-6x^2y^2+y^4,\qquad v(x,y)=4x^3y-4xy^3 \)

Ahora continua aplicando la definición de función armónica.

Saludos.