[iannuevo]

Hola, tengo una duda respecto al siguiente ejercicio de series de potencias, solo llego a hacer el principio y no se como seguir

A partir del desarrollo de potencias de \( \frac{1}{x+1} \) comprobar que \( ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} \) si \( -1<x\leq1 \) y calcular \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \)

Lo único que logro es hacer el desarrollo de potencias de \( \frac{1}{x+1} \)  que mediante la serie geométrica puedo ver que es \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n+x^n \)

Pero a partir de este punto no se como llegar a lo que se me pide, o sea, \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} \)
No se que formula usar, tengo entendido que al ser logaritmo hay cierta formula que puedo usar, pero no se cual (derivar, o integrar, aunque lo dudo porque lo estoy haciendo y no me da el resultado deseado).

Espero que me puedan ayudar porque no logro entenderlo. Muchas gracias.

[martiniano]

Hola.
El desarrollo en serie de \( \displaystyle\frac{1 }{x+1} \) es \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n  \)

Integrando ambos miembros contestas la primera pregunta, y después, substituyendo x=1, a la segunda.

Saludos.

[iannuevo]

Hola.
El desarrollo en serie de \( \displaystyle\frac{1 }{x+1} \) es \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n  \)

Integrando ambos miembros contestas la primera pregunta, y después, substituyendo x=1, a la segunda.

Saludos.

Gracias, pero tengo la duda de que al integrar \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n  \) no me queda lo que busco, o sea, \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} \) , lo que me queda es \(  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1} \)

Eso es lo que me está confundiendo, no entiendo porque no me da lo que busco.

[martiniano]

Hola de nuevo.

Cuidado. La variable con respecto a la que integras es \( x \), y vigila también los índices de los sumatorios:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n, dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\displaystyle\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} \)

Saludos.

PD. Lo que está en rojo me lo podría haber ahorrado 

[iannuevo]

Hola de nuevo.

Cuidado. La variable con respecto a la que integras es \( x \), y vigila también los índices de los sumatorios:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n, dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\displaystyle\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} \)

Saludos.

PD. Lo que está en rojo me lo podría haber ahorrado 

Muchas gracias, ya me quedo claro. Un saludo.