[zeking]

Hola que tal? Necesitaria ayuda con éste ejercicio, desde ya, muchas gracias

a) Graficar en el plano complejo la curva:

\(  C =  -1\leq{Re(z)}\leq{3}    \wedge    \bar{z}.z - Re(z^2) - 2Re(z) = 2 \)

b) Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva C del item a) indicando el sentido de recorrido sobre la misma

Hasta ahora, yo llegue a que la segunda condición da como resultado ( creo que esta bien )

\( (x-yi)(z+yi) - x^2 - 2x = 2 \)

Mas no se como seguir, podran darme una mano?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola que tal? Necesitaria ayuda con éste ejercicio, desde ya, muchas gracias

a) Graficar en el plano complejo la curva:

\(  C =  -1\leq{Re(z)}\leq{3}    \wedge    \bar{z}.z - Re(z^2) - 2Re(z) = 2 \)

b) Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva C del item a) indicando el sentido de recorrido sobre la misma

Hasta ahora, yo llegue a que la segunda condición da como resultado ( creo que esta bien )

\( (x-yi)(z+yi) - x^2 - 2x = 2 \)

Sería:

\( (x-yi)(\color{red}x\color{black}+yi)-x^2-2x=2 \)

Operando:

\( x^2+y^2-x^2-2x=2 \)

\( y^2-2x=2 \)

\( x=\dfrac{1}{2}y^2-1 \)

con \( -1\leq x\leq 3 \) (equivalentemente \( -2\sqrt{2}\leq y\leq 2\sqrt{2} \))

Es decir es un trozo de parábola.

Saludos.

CORREGIDO. Todavía hay un error en este desarollo. Está hecho como si el enunciado fuese:

\( \bar{z}.z - \color{red}Re(z)^2\color{black} - 2Re(z) = 2 \)

Pero en realidad es:

\( \bar{z}.z - \color{blue}Re(z^2)\color{black} - 2Re(z) = 2 \)

Está corregido en mi siguiente mensaje. Gracias hmendez.

[zeking]

Hola

Hola que tal? Necesitaria ayuda con éste ejercicio, desde ya, muchas gracias

a) Graficar en el plano complejo la curva:

\(  C =  -1\leq{Re(z)}\leq{3}    \wedge    \bar{z}.z - Re(z^2) - 2Re(z) = 2 \)

b) Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva C del item a) indicando el sentido de recorrido sobre la misma

Hasta ahora, yo llegue a que la segunda condición da como resultado ( creo que esta bien )

\( (x-yi)(z+yi) - x^2 - 2x = 2 \)

Sería:

\( (x-yi)(\color{red}x\color{black}+yi)-x^2-2x=2 \)

Operando:

\( x^2+y^2-x^2-2x=2 \)

\( y^2-2x=2 \)

\( x=\dfrac{1}{2}y^2-1 \)

con \( -1\leq x\leq 3 \) (equivalentemente \( -2\sqrt{2}\leq y\leq 2\sqrt{2} \))

Es decir es un trozo de parábola.

Saludos.

Gracias por tu respuesta y perdon si estoy diciendo una burrada pero por que el resultado de \( (x-yi)(x+yi) \) te da un resultado positivo si \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) ?

[hméndez]

...
Gracias por tu respuesta y perdon si estoy diciendo una burrada pero por que el resultado de \( (x-yi)(x+yi) \) te da un resultado positivo si \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) ?

\( a=x \longrightarrow{} a^2=x^2 \)

\( b=yi \longrightarrow{} b^2 =(yi)^2=y^2i^2=y^2(-1)=-y^2 \), luego \( -b^2=y^2 \)


¡Ojo! que hay un error en el desarrollo de Luis respecto a \( Re(z^2) \),  que con toda seguridad lo corregirá cuando lea este hilo 

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¡Ojo! que hay un error en el desarrollo de Luis respecto a \( Re(z^2) \),  que con toda seguridad lo corregirá cuando lea este hilo 

Si; en mi descarga decir que di por bueno muy a la ligera lo que ya estaba escrito. 

Efectivamente el enunciado pone:

\( \bar{z}.z - Re(z^2) - 2Re(z) = 2 \)

Spoiler

Mientras que el desarrollo que hice sería para  \( \bar{z}.z - \color{red}Re(z)^2\color{black} - 2Re(z) = 2 \)

[cerrar]

Entonces si \( z=x+iy \):

\( \bar z\cdot z=(x+iy)(x-iy)=x^2-(iy)^2=x^2-(-y^2)=x^2+y^2 \)

\( Re(z^2)=Re((x+iy)^2)=Re(x^2+(iy)^2+2xyi)=Re(x^2-y^2-2xyi)=x^2-y^2 \)

y la ecuación queda:

\( x^2+y^2-(x^2-y^2)-2x=2 \)

\( 2y^2-2x-2=0 \)

\( y^2-x-1=0 \)

Saludos.