Disculpen pero la verdad si no me lo explican paso a paso no lo voy a entender nunca
Es que en el método de Gauss, aunque sea rutinario, algo hay que pensar también (pensar si conviene cambiar una fila, si conviene cierta operación... cosas así). Por mucho que te expliquemos, si no practicas, no te van a salir bien; hay que aprender a mirar cada matriz particular y ver qué cosas se pueden hacer con ella.
Pero, venga, te detallo.
El método de Gauss busca transformar la matriz en triangular, ya que, en las matrices triangulares, el producto de los elementos de la diagonal es el determinante.
En este caso tomemos la matriz
\( \left(\begin{array}{cccc}
0 & x & y & z\\
x & \lambda & 0 & 0\\
y & 0 & \lambda & 0\\
z & 0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\)
Observa que debajo de la diagonal ya tienes tres ceros (tienes que aprender a observar estas cosas) falta hacer ceros en la “x”, la “y” y la “z” de la primera columna.
Bien. Una de las operaciones más básicas es multiplicar una fila o una columna y sumársela a otra para hacer ceros donde queramos; está operación no altera el valor del determinante.
Aquí se ve muy fácilmente que si multiplicamos la segunda columna por \( \dfrac{-x}{\lambda}
\) y la sumamos a la primera, entonces, donde está la “x” de la primera columna queda un cero; hacemos las operaciones dichas:
\( \left(\begin{array}{cccc}
\dfrac{-x{}^{2}}{\lambda} & x & y & z\\
0 & \lambda & 0 & 0\\
y & 0 & \lambda & 0\\
z & 0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\)
De forma análoga ocurre al multiplicar la tercera columna por \( \dfrac{-y}{\lambda}
\); al sumársela a la primera la “y” se hace cero; lo hacemos:
\( \left(\begin{array}{cccc}
\dfrac{-x{}^{2}-y{}^{2}}{\lambda} & x & y & z\\
0 & \lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda & 0\\
z & 0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\)
Y, otra vez, hacemos lo mismo multiplicando la cuarta por \( \dfrac{-z}{\lambda}
\):
\( \left(\begin{array}{cccc}
\dfrac{-x{}^{2}-y{}^{2}-z{}^{2}}{\lambda} & x & y & z\\
0 & \lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\)
El producto de la diagonal es entonces
\( \dfrac{-x{}^{2}-y{}^{2}-z{}^{2}}{\lambda}\cdot\lambda^{3}=\lambda^{2}\left(-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)
\)
o lo que es lo mismo
\( -\lambda^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
\)
y como teníamos delante el factor dos a la cuarta, lo pones y ya está
\( -2^{4}\lambda^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
\).
Esto es lo mismo que ha hecho Abdulai, pero sin sacar el factor dos a la cuarta fuera, dejándolo dentro (
volviendo a mirar, Abdulai lo hace por filas en vez de columnas, pero sigue siendo lo mismo porque la matriz es simétrica; lo mismo con los números colocados "boca abajo")
Saludos.
