[dario_oasis]

Hola como es tan? Disculpen les quería preguntar si me podrían ayudar a resolver esta matriz 4x4 de la manera más fácil?por favor nunca fui bueno en cálculo de matrices, desde ya muchas gracias!!
\( \color{red}\begin{bmatrix}{0}&{2x}&{2y}&{2z}\\{2x}&{2\lambda}&{0}&{0}\\{2y}&{0}&{2\lambda}&{0}\\{2z}&{0}&{0}&{2\lambda}\end{bmatrix}\color{black} \)
perdón por ponerle
Lo así pero no se poner matrices de 4x4 en látex les pido mil disculpas, no va a volver a pasar una vez me corrijan.
Editado por moderador
Cuando escribes el mensaje, arriba te pone como escribir una matriz de orden dos y tres sólo hay que fijarse un poco y ver como se hace en general.

¿No será determinante?

[dario_oasis]

Si la determinante de esa matriz no se resolver, a una compañera le dio esto pero no sé cómo hizo para llegar a este resultado:
\( -16x^2\lambda^2-(8y\lambda)(z^2+y^2) \)

[Abdulai]

Si la determinante de esa matriz no se resolver, a una compañera le dio esto pero no sé cómo hizo para llegar a este resultado:
\( -16x^2\lambda^2-(8y\lambda)(z^2+y^2) \)

Ese  resultado salta a la vista que no puede ser,  pues por la forma de la matriz el determinante no puede variar al permutar x,y,z

[dario_oasis]

entonces como seria?

[sugata]

¿Has probado por menores?
Por la primera fila o columna parece lo más fácil.

[Abdulai]

entonces como seria?

Todos contra la primer fila.

Hacés   \( (1) = (1) - \dfrac{x}{\lambda}(2) - \dfrac{y}{\lambda}(3) - \dfrac{z}{\lambda}(4) \)  siendo \( (1),(2),(3),(4) \)  la fila correspondiente.

Te queda una matriz triangular cuyo determinante es trivial:

\( \begin{bmatrix}{-2\frac{x^2}{\lambda}-2\frac{y^2}{\lambda}-2\frac{z^2}{\lambda}}&{0}&{0}&0\\{2x}&{2\lambda}&{0}&0\\{2y}&{0}&{2\lambda}&0\\2z&0&0&2\lambda\end{bmatrix} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola como es tan? Disculpen les quería preguntar si me podrían ayudar a resolver esta matriz 4x4 de la manera más fácil?por favor nunca fui bueno en cálculo de matrices, desde ya muchas gracias!!
\( \color{red}\begin{bmatrix}{0}&{2x}&{2y}&{2z}\\{2x}&{2\lambda}&{0}&{0}\\{2y}&{0}&{2\lambda}&{0}\\{2z}&{0}&{0}&{2\lambda}\end{bmatrix}\color{black} \)

 Aunque es una observación menor en este caso, una buena costumbre a la hora de resolver determinante es sacar fuera los factores comunes en cada fila o columna. En este caso todas las columnas son múltiplos de dos, luego queda:

\( 2^4det \begin{bmatrix}{0}&{x}&{y}&{z}\\{x}&{\lambda}&{0}&{0}\\{y}&{0}&{\lambda}&{0}\\{z}&{0}&{0}&{\lambda}\end{bmatrix} \)

Saludos.

[feriva]

Hola, Darío.

Yo lo haría sacando factor común, como ha recomendado Luis. Y por menores complementarios, como dice Sugata, tomando la cuarta columna y sin escalonar siquiera en este caso (esto ya es a gusto personal).

\( 2^{4}det\begin{bmatrix}0 & x & y & {\color{blue}z}\\
x & \lambda & 0 & 0\\
y & 0 & \lambda & 0\\
z & 0 & 0 & {\color{blue}\lambda}
\end{bmatrix}
 = \)

\( 2^{4}\left(-{\color{blue}z}\cdot det\begin{bmatrix}x & \lambda & 0\\
y & 0 & \lambda\\
z & 0 & 0
\end{bmatrix}+{\color{blue}\lambda}\cdot det\begin{bmatrix}0 & x & y\\
x & \lambda & 0\\
y & 0 & \lambda
\end{bmatrix}\right)=
  \)

(esos dos yo los saco a ojo por Sarrus; son éste \( z\lambda^{2}
  \) y éste \( -\lambda y^{2}-\lambda x^{2}=-\lambda(x^{2}+y^{2})
  \))

\( 2^{4}\left(-(z\lambda)^{2}-\lambda^{2}(x^{2}+y^{2})\right)=
  \)

\( -2^{4}\lambda^{2}\left(z^{2}+x^{2}+y^{2}\right)
  \)

Pero cada uno lo hace de la manera que se encuentra más cómodo, así que el operar es subjetivo, personal de cada uno. 

Saludos.

[dario_oasis]

Hola feriva y sugata,No logró comprenderlo del todo, alguno que me diga otra forma, como se llama la forma en que hay que dejar un 1 de pivote y ceros en la fila o columna e ir eliminando, a mi me enseñaron así pero No me acuerdo nada, se los agradeceré si me enseñan de esa manera

[feriva]

Hola feriva y sugata,No logró comprenderlo del todo, alguno que me diga otra forma, como se llama la forma en que hay que dejar un 1 de pivote y ceros en la fila o columna e ir eliminando, a mi me enseñaron así pero No me acuerdo nada, se los agradeceré si me enseñan de esa manera

En “general” tendrías factores rojos multiplicado por determinante de lo azul, pero cada factor rojo con su signo atendiendo a los subíndices de los elementos fila columna; si la suma de los subíndices da impar, signo menos, si no, signo más:

\( \begin{bmatrix}{\color{red}0} & x & y & z\\
x & {\color{blue}\lambda} & {\color{blue}0} & {\color{blue}0}\\
y & {\color{blue}0} & {\color{blue}\lambda} & {\color{blue}0}\\
z & {\color{blue}0} & {\color{blue}0} & {\color{blue}\lambda}
\end{bmatrix}
  \)

\( \begin{bmatrix}0 & {\color{blue}x} & {\color{blue}y} & {\color{blue}z}\\
{\color{red}x} & \lambda & 0 & 0\\
y & {\color{blue}0} & {\color{blue}\lambda} & {\color{blue}0}\\
z & {\color{blue}0} & {\color{blue}0} & {\color{blue}\lambda}
\end{bmatrix}
  \)

\( \begin{bmatrix}0 & {\color{blue}x} & {\color{blue}y} & {\color{blue}{\color{blue}z}}\\
x & {\color{blue}\lambda} & {\color{blue}0} & {\color{blue}0}\\
{\color{red}y} & 0 & \lambda & 0\\
z & {\color{blue}0} & {\color{blue}0} & {\color{blue}{\color{blue}\lambda}}
\end{bmatrix}
  \)

\( \begin{bmatrix}0 & {\color{blue}x} & {\color{blue}y} & {\color{blue}{\color{blue}z}}\\
x & {\color{blue}\lambda} & {\color{blue}0} & {\color{blue}0}\\
y & {\color{blue}0} & {\color{blue}\lambda} & {\color{blue}0}\\
{\color{red}z} & 0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}
  \)

Y se suman todos los resultados.

Pero cuando hay ceros, pues no hace falta porque ya se sabe que da cero. Así que yo lo he hecho tomando la cuarta columna porque hay dos ceros; lo mismo pero con la cuarta en vez de la primera.

Lo que tú dices, dicho en general, viene a ser como escalonar una matriz por Gauss (para no extenderme) pero teniendo cuidado con tener en cuenta cómo se modifica el determinante cada vez que haces una transformación.