Hola
probar que
\(
\displaystyle\prod_{k=1}^{k=\infty}{(1-\displaystyle\frac{1}{n^2})}=1/2
\)
La convergencia es inmediata porque \( 1/n^2 \) es sumable
Alguna idea?
Supongo que en realidad es:
\( \displaystyle\prod_{\color{red}n=2\color{black}}^{n=\infty}{(1-\displaystyle\frac{1}{n^2})}=1/2 \)
en otro caso el producto es cero.
Nota que:
\( \displaystyle\prod_{n=2}^{n=N}{(1-\displaystyle\frac{1}{n^2})}=\displaystyle\prod_{n=2}^{n=N}\dfrac{n^2-1}{n^2}=\displaystyle\prod_{n=2}^{n=N}\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^2}=\\
=\\\dfrac{\displaystyle\prod_{n=2}^{n=N}(n-1)\displaystyle\prod_{n=2}^{n=N}(n+1)}{\left(\displaystyle\prod_{n=2}^{n=N}n\right)^2}=
\dfrac{\displaystyle\prod_{n=1}^{n=N-1}n\displaystyle\prod_{n=3}^{n=N+1}n}{\left(\displaystyle\prod_{n=2}^{n=N}n\right)^2}
=\dfrac{N+1}{2\cdot N} \)
Saludos.
