[mgranadosgg]

Hola a todos,

quisiera, por favor, que alguien me confirme si la solución a este problema es correcta.

Gracias de antemano.

Demuestre que los vectores de \( R^3 \) ortogonales a \( \vec{p}=(1,-2,3) \) constituyen un subespacio de \( \mathbb{R}^3 \). Determine su dimensión y una base.

Solución
---------

Todos los vectores de \( \mathbb{R}^3 \) son de la forma:

\( \vec x=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \)

Para que los vectores \( \vec{p} \) y \( \vec{x} \) sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:

\( \vec x\cdot \vec p=0\quad \Rightarrow{}\quad (x,y,z)\cdot (1,-2,3)=0 \)

Al resolver el producto escalar, resulta la siguiente ecuación:

\( x-2y+3z=0 \)

Es decir, el conjunto "S" es:

\( S=\{(x;y;z)|x-2y+3z=0=0\} \)

"S"  es subespacio de \( \mathbb{R}^3 \) solo si toda C.L. de vectores de "S" es de "S".

Sea \( \vec u=(u_1,u_2,u_3)\in S\quad \Rightarrow{}\quad u_1-2u_2+3u_3=0 \)
Sea \( \vec v=(v_1,v_2,v_3)\in S\quad \Rightarrow{}\quad v_1-2v_2+3v_3=0 \)

Sean \( \alpha,\beta \in \mathbb{R} \). Es

\( \alpha\cdot \vec u+\beta \cdot \vec v=(\alpha \vec u_1+\beta \vec v_1,\alpha \vec u_2+\beta \vec v_2,\alpha \vec u_3+\beta \vec v_3) \)

¿Es \( \alpha\cdot \vec u+\beta \cdot \vec v \) solución del S.L.H.?

Veamos:

\( (\alpha u_1+\beta v_1)-2(\alpha u_2+\beta v_2)+3(\alpha u_3+\beta v_3)=\alpha(u_1-2u_2+3u_3)+\beta(v_1-2v_2+3v_3)=0 \)

que "S"  es subespacio vectorial de \( \mathbb{R} \)^3.

Dimensión

\( Dim(S)=Dim(\mathbb{R}^3 )-(rg[1;-2;3)] )=3-1=2 \)

(Cualesquiera dos vectores de "S " que sean@L.I.forman una base de "S" .)

Base

Calculamos las infinitas soluciones del S.L.H. y seleccionamos dos soluciones que sean L.I.

\( x_1+2x_2+3x_3\quad \Rightarrow\quad S=\{(2(\theta-3\mu),2\theta,3\mu)\} \)

\( =\{(2\theta,2\theta,0)+(-3\mu,0,3\mu),\forall \theta,\mu \in \mathbb{R}\} \)

\( =\{\theta(2,2,0)+\mu(-3,0,3),\forall \theta,\mu \in \mathbb{R}\} \)

Los vectores \( \vec{u}=(2;2;0) \) y \( \vec{v}=(-3;0;3) \) forman una base de “S”: todo vector de “S” es C.L. de \( \vec{u}=(2;2;0) \) y \( \vec{v}=(-3;0;3) \).


¿Otra base de “S”?

Cualesquiera dos soluciones del S.L.H. que sean L.I.

Para \( \theta=2 \), \( \mu=1 \). Es: \( \vec=(4-3;4;3)=(1;4;3)\in S \)

Gracias de antemano.
Corregido desde la administración.

[delmar]

Hola

Antes de contestarte, y estoy seguro que también estas de acuerdo, hay que escribir en LATEX las fórmulas, para poder entender; además la notación en lo posible ha de ser la estándar, por ejemplo utilizar ; en lugar de , confunde.

Parte del desarrollo es una forma correcta, por ejemplo : la demostración de que, los vectores de \( R^3 \) ortogonales a \( (1,-2,3) \) son un subespacio, el cálculo de la dimensión, son demostraciones correctas. Lo que es incorrecto es la base encontrada, te das cuenta sin mucho esfuerzo de que \( \vec{u}=(2,2,0) \ , \ \vec{v}=(-3,0,3) \), no son una base de S, por que no pertenecen a S, no son ortogonales a \( (1,-2,3) \), puedes verificarlo haciendo el producto interno, no da cero.

No tengo tiempo en este momento, si tienes alguna idea, adelante, en caso contrario, haré alguna sugerencia, una pista.

Saludos

[delmar]

Complemento mi aporte anterior.

El subespacio de los vectores de \( R^3 \) ortogonales a \( (1,-2,3) \)es \( S=\left\{{(x,y,z) \ / \ x-2y+3z=0}\right\} \), observa que x se puede poner en función y e z :

\( x=2y-3z \) en consecuencia \( S=\left\{{(2y-3z,y,z) \ / \ x,y,z \in{R}}\right\} \), todo elemento de S lo podemos poner : \( (2y-3z,y,z)=(2y,y,0)+(-3z,0,z)=y(2,1,0)+z(-3,0,1) \), luego S es el conjunto de todas las C.L de \( A=\left\{{(2,1,0) \ , \ (-3,0,1)}\right\} \), además es casi evidente (se puede demostrar) que A es un conjunto de vectores linealmente independiente, por lo tanto A es una base de S, lo que si es verdad y lo has dicho es que todo par de elementos de S linealmente independientes es una base de S. ¿Que te parece si encuentras otra base y la compartes?

Saludos

[mgranadosgg]

Hola a todos,

muchas gracias por sus respuestas.

Les pido disculpas por el uso inadecuado de las expresiones en Latex. No sabía cómo utilizar dicho editor en este foro.

Para encontrar otra base, basta que no sea la solución trivial del SLH.

Como todo vector de "S" es C.L. del vector A={(2,1,0), (3,0,1)}, entonces

Para θ=2 y μ=3, es:

  θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1)

  2•(2,1,0)+3•(-3,0,1)=(4,2,0)+(-9,0,3)=(-5,2,3)

Para comprobar que el vector (-5,2,3) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

\( rgA/B=2 \)\begin{bmatrix}{2}&{-3}&{-5}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{1}&{3}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2, entonces el vector (-5,2,3) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, es una base


Para θ=3 y μ=1, es:

  θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1)

  3•(2,1,0)+1•(-3,0,1)=(6,3,0)+(-3,0,1)=(3,3,1)

Para comprobar que el vector (3,3,1) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

\( rgA/B=2 \)\begin{bmatrix}{2}&{-3}&{3}\\{1}&{0}&{3}\\{0}&{1}&{1}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2, entonces el vector (3,3,1) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, es una base


Para θ=0 y μ=0, es:

  θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1)

  0•(2,1,0)+0•(-3,0,1)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)

Para comprobar que el vector (0,0,0) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

\( rgA/B=2 \)\begin{bmatrix}{2}&{-3}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2, entonces el vector (0,0,0) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, es una base.


Por último, ¿formaría una base el vector (8,0,2)?

Para comprobar que el vector (8,0,2) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

rg(A)≠rg(B), pues rg(A)=2 y rg(B)=3. \begin{bmatrix}{2}&{-3}&{8}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2≠3, entonces el vector (8,0,2) NO es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, NO es una base.


Espero que sea correcto.


Muchas gracias, nuevamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos,

muchas gracias por sus respuestas.

Les pido disculpas por el uso inadecuado de las expresiones en Latex. No sabía cómo utilizar dicho editor en este foro.

Para encontrar otra base, basta que no sea la solución trivial del SLH.

Como todo vector de "S" es C.L. del vector A={(2,1,0), (3,0,1)}, entonces

Para θ=2 y μ=3, es:

  θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1)

  2•(2,1,0)+3•(-3,0,1)=(4,2,0)+(-9,0,3)=(-5,2,3)

Para comprobar que el vector (-5,2,3) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

\( rgA/B=2 \)\begin{bmatrix}{2}&{-3}&{-5}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{1}&{3}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2, entonces el vector (-5,2,3) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, es una base

Es innecesario (y poco recomendable) que compruebes que \( (-5,2,3) \) es combinación lineal de los otros dos vectores, porque...¡lo has contruido precisamente como una combinación lineal de ellos!.

Por otra parte, ¿cuál es exactamente la nueva base?. Un sólo vector no es una base del subespacio (que tiene dimensión dos). Entonces no me queda claro cual es tu respuesta, cual es tu propuesta de nueva base.

Spoiler

Sería por ejemplo una nueva base \( \{(2,1,0),(-5,2,3)\} \)

[cerrar]

Para θ=3 y μ=1, es:

  θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1)

  3•(2,1,0)+1•(-3,0,1)=(6,3,0)+(-3,0,1)=(3,3,1)

Para comprobar que el vector (3,3,1) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

\( rgA/B=2 \)\begin{bmatrix}{2}&{-3}&{3}\\{1}&{0}&{3}\\{0}&{1}&{1}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2, entonces el vector (3,3,1) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, es una base

Aquí más de lo mismo.

Para θ=0 y μ=0, es:

  θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1)

  0•(2,1,0)+0•(-3,0,1)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)

Para comprobar que el vector (0,0,0) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

\( rgA/B=2 \)\begin{bmatrix}{2}&{-3}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2, entonces el vector (0,0,0) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, es una base.

Aquí más de lo mismo pero es todavía más chocante porque el vector cero ni siquiera es un sistema libre.

Por último, ¿formaría una base el vector (8,0,2)?

Para comprobar que el vector (8,0,2) es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)}, calculamos el rango de:

rg(A)≠rg(B), pues rg(A)=2 y rg(B)=3. \begin{bmatrix}{2}&{-3}&{8}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{2}\end{bmatrix}

Como el rango de A/B es 2≠3, entonces el vector (8,0,2) NO es C.L. de {(2,1,0), (-3,0,1)} y, por tanto, NO es una base.

Un vector sólo NO es una base de un subespacio de dimensión dos, así que podrías ahorrarte las cuentas.

Saludos.

P.D. No me queda claro si toda esta discusión sobre la "nueva base" te lo pide el ejercicio, o son consideraciones adicionales sobre las que has querido reflexionar.

[mgranadosgg]

Hola.

Tienes toda la razón.

Teníamos que {θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1),∀θ,μ∈R}. Entonces, buscamos 2 bases (Cualesquiera dos soluciones del S.L.H. que sean L.I.)

  - Para θ=2 y μ=1, es: p={(2.2;2.1;2.0),(1.(-3);1.0;1.1) } = {(4;2;0),(-3;0;1)}∈S

  - Para θ=3 y μ=4, es: q=={(3.2;3.1;3.0),(4.(-3);4.0;4.1) } = {(6;3;0),(-12;0;4)}∈S

Espero que sea correcto ahora.

Muchas gracias, nuevamente.

[Luis Fuentes]

Hola

POR FAVOR: Usa LaTeX para las fórmulas.

Teníamos que {θ•(2,1,0)+μ•(-3,0,1),∀θ,μ∈R}. Entonces, buscamos 2 bases (Cualesquiera dos soluciones del S.L.H. que sean L.I.)

  - Para θ=2 y μ=1, es: p={(2.2;2.1;2.0),(1.(-3);1.0;1.1) } = {(4;2;0),(-3;0;1)}∈S

  - Para θ=3 y μ=4, es: q=={(3.2;3.1;3.0),(4.(-3);4.0;4.1) } = {(6;3;0),(-12;0;4)}∈S

Espero que sea correcto ahora.

 Es correcto.... pero no me convence mucho como lo has escrito. Es cierto que los dos pares de conjuntos que has obtenido son bases.

 Ahora bien si primero dices que la expresión paramétrica del subespacio es:

\( \theta(2,1,0)+\mu(-3,0,1) \)

quiere decir que para cada par de valores \( (\theta,\mu) \) tienes un vector de tal subespacio.

 Entonces el vector (uno solo) correspondiente a los parámetros \( \theta=2 \) y \( \mu=1 \) sería:

\( 2(2,1,0)+1(-3,0,1)=(1,2,1) \)

 En realidad lo que tu tomas es:

 \( \theta=2 \) y \(  \mu=0 \) y obtienes \( 2(2,1,0)+0(-3,0,1)=(4,2,0) \)

y

 \( \theta=0 \) y \(  \mu=1 \) y obtienes \( 0(2,1,0)+1(-3,0,1)=(-3,0,1) \)

Saludos.

[mgranadosgg]

Entonces, para encontrar una nueva base del subespacio S, debemos encontrar 2 soluciones del S.L.H. que sean L.I.; o sea, encontrar 2 vectores, para valores de θ y μ, cada uno, que no sea la solución trivial.

Siendo la expresión paramétrica del subespacio: θ•(2,1,0)+μ•(−3,0,1), se tiene

(vector 1)
Si θ=2 y μ=1, es: p={(2.2;2.1;2.0),(1.(-3);1.0;1.1)} = (4;2;0)+(-3;0;1) = (1;2;1)∈S

(vector 2)
Si θ=3 y μ=4, es: q={(3.2;3.1;3.0),(4.(-3);4.0;4.1)} = (6;3;0)+(-12;0;4) = (-6;3;4)∈S

Por tanto, una nueva base es: B={(1;2;1),(-6;3;4)}

¿es correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces, para encontrar una nueva base del subespacio S, debemos encontrar 2 soluciones del S.L.H. que sean L.I.; o sea, encontrar 2 vectores, para valores de θ y μ, cada uno, que no sea la solución trivial.

Siendo la expresión paramétrica del subespacio: θ•(2,1,0)+μ•(−3,0,1), se tiene

(vector 1)
Si θ=2 y μ=1, es: p={(2.2;2.1;2.0),(1.(-3);1.0;1.1)} = (4;2;0)+(-3;0;1) = (1;2;1)∈S

(vector 2)
Si θ=3 y μ=4, es: q={(3.2;3.1;3.0),(4.(-3);4.0;4.1)} = (6;3;0)+(-12;0;4) = (-6;3;4)∈S

Por tanto, una nueva base es: B={(1;2;1),(-6;3;4)}

¿es correcto?

Te contestaré cuando muestres la más mínima reacción a mis continuas indicaciones de que uses LaTeX.

Saludos.