Hola. Muchas gracias.
A ver si lo he entendido:
- eliges un vector genérico de R^3: (x,y,z)
- Haces el producto escalar de ese vector genérico por el vector p=(1;-2;3): (x,y,z)⋅(1,−2,3)
Por supuesto, la pregunta original era "Demostrar que los vectores de \( \mathbb{R}^3 \) ortogonales al vector \( p=(1,-2,3) \) constituyen un subespacio de \( \mathbb{R} \), es decir, quieres probar que el conjunto
\( \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:(x,y,z)\cdot p=0\} \)
es un subespacio vectorial.
- el resultado del producto escalar debe ser 0 para que sean ortogonales: (x,y,z)⋅(1,−2,3)=0
Así es. Dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto interno es cero.
- (¿por qué?) factorizas x en el producto escalar x-2y+3z=0 => x=2y−3z
- (¿por qué?) sustituyes x=2y−3z en las coordenadas del vector genérico: x-2y+3z=0 => (2y−3z;y;z)
- (¿por qué?) factorizas y, y z de la nueva expresión: y(2-3.0;1;0) + z(-3;0;1) = y(2,1,0)+z(−3,0,1)
Todas son operaciones correctas, ¿no?, y permiten escribir el conjunto como la combinación lineal de los dos vectores \( (2,1,0) \) y \( (-3,0,1) \). Así que llegamos a que el conjunto es igual a la combinación lineal de dos vectores \( \mathbb{R}^3 \), y por tanto es un subespacio vectorial \( \mathbb{R}^3 \).
Para demostrar que era subespacio vectorial, otra forma de proceder es haber probado que el conjunto es cerrado para la suma y la multiplicación por escalar, pero no es necesario por lo que acabo de inidicar (trivialmente se prueba que el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores es un subespacio, ya que por definición será cerrado para la suma y multiplicación por escalar).
- las coordenadas del subespacio son: ⟨{(2,1,0),(−3,0,1)}⟩
Un subespacio es un conjunto de vectores. A lo que llegamos es que \( \{(2,1,0),(-3,0,1)\} \) es un generador del espacio, por eso usamos el paréntesis:
\( \langle\{(2,1,0),(-3,0,1)\}\rangle \)
y es fácil probar que \( \{(2,1,0),(-3,0,1)\} \) son linealmente independientes, y por tanto una base del subespacio.
Sobre la escritura de ecuaciones: revisa la
Ayuda LaTeX y la guía
comenzando a editar fórmulas con LATEX. Todos los símbolos debes hacerlos como ahí se explica.
