Hola
Tengo un problema sacando los extremos de la siguiente función:
\( y=2sinx-cosx \)
Lo que intenté hacer fue esto:
\( y^{\prime}=sinx+2cosx \)
\( \sqrt[ ]{1-cos^2x}+2cosx=0 \)
\( (2cosx)^2=(\sqrt[ ]{1-cos^2x})^2 \)
\( 4cos^2x=1-cos^2x \)
\( 5cos^2x=1 \)
\( cosx=\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{5}} \)
A pesar de que obtengo ese resultado, la respuesta debería ser: \( \pm{\sqrt[ ]{5}} \)
Si alguien fuera tan amable de marcar cuál es mi error, se lo agradecería mucho.
Lo que tu has hallado son los puntos críticos donde se anula la derivada y puntos candidatos a alcanzar los extremos.
En concreto:
- Si \( cos(x)=\sqrt{5}{5} \) entonces para que \( y'=sinx+2cos(x)=0 \), se tiene que \( sin(x)=-2\sqrt{5}{5} \).
En esos puntos el valor de la función es:
\( y=2sin(x)-cos(x)=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=-\sqrt{5} \)
- Si \( cos(x)=-\sqrt{5}{5} \) entonces para que \( y'=sinx+2cos(x)=0 \), se tiene que \( sin(x)=2\sqrt{5}{5} \).
En esos puntos el valor de la función es:
\( y=2sin(x)-cos(x)=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5} \)
Entonces el valor máximo de la función es \( \sqrt{5} \) y el mínimo \( -\sqrt{5} \).
Saludos.
