[Julitoduhalde]

Buenas, otra vez estoy en un problema con el siguiente ejercicio.



Como ven, es por conservación de energía. Como tiene RSD, se pueden hallar las velocidades del centro de masas del disco, interior o exterior.

La energía potencial inicial es 0 si se elige como altura 0 desde ese punto, y es máxima cuando vale la distancia x el seno del ángulo.
El problema es luego al igualar ecuaciones, no logro llegar a ningún resultado parecido a los que se muestra.

Lo que estoy haciendo es igualar la energía cinética final a cero y la inicial es la energía de rotación + traslación, aun así no llego a la respuesta así que algún paso me estoy saltando.

[delmar]

Hola

Lo que haces es correcto.El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la variación de la energía cinética :

\( W_{ext}=Ec_f-Ec_i \), pero la energía cinética final es cero y la única fuerza externa que hace trabajo es la gravitatoria, la fuerza normal ni la fuerza de rozamiento hacen trabajo (no hay deslizamiento). Entonces la ecuación anterior se puede poner :

\( W_g=-Ec_i\Rightarrow{-\Delta EPg=-Ec_i}\Rightarrow{mg \Delta x \ sen(\theta)=Ec_i} \) Ec. 1

La energía cinética inicial es la suma de la energía de traslación con la energía de rotación :

\( Ec_i=Ec_{i \ t}+Ec_{i \ r} \) Ec. 2

Pero : \( Ec_{i \ t}=\displaystyle\frac{1}{2} \ m \ V_O^2 \) Ec 3

         \( Ec_{i \ r}=\displaystyle\frac{1}{2} \ I_o \ W^2 \)  Ec. 4

Donde \( V_O \) es la velocidad del centro de masa O y \( W \) es la velocidad de rotación del carrete. Para calcular ambas cantidades es conveniente considerar una referencia XY, con origen en O, semieje positivo paralelo al plano inclinado (forma un ángulo \( \theta \) con el piso), eje Y, perpendicular al plano inclinado, de tal manera que el plano XY es un plano vertical (perpendicular al piso).

La cinemática de cuerpo rígido nos da una ecuación que relaciona las velocidades de dos puntos cualesquiera (P,Q) y la velocidad de rotación:

\( \vec{V_Q}=\vec{V_P}+\vec{W} \ X \ \vec{R_{PQ}} \) Ec. 5

Considerando que P no desliza, es decir que su velocidad es cero como la tierra se tiene :

\( v\vec{i}=0+w\vec{k} \ X \ \displaystyle\frac{3r}{2}\vec{j}\Rightarrow{v\vec{i}=\displaystyle\frac{-w3r}{2}\vec{i}}\Rightarrow{w=\displaystyle\frac{-2v}{3r}} \) Ec. 6

Conociendo la velocidad de rotación, se calcula la velocidad de O

\( \vec{V_O}=\vec{V_P}+\vec{W} \ X \ \vec{R_{PO}}\Rightarrow{\vec{V_O}=\displaystyle\frac{-2v}{3r} \ \vec{k} \ X \ \displaystyle\frac{r}{2} \vec{j}}\Rightarrow{\vec{V_O}=\displaystyle\frac{v}{3} \vec{i}} \) Ec. 7

Conociendo \( V_O,w \) utilizando las Ec 3 y Ec 4 y la Ec 2 encontramos \( Ec_i \) y finalmente utilizando la Ec 1 obtenemos \( \Delta x \), que se corresponde con una de las claves.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

La solución alternativa, es utilizando la Dinámica y la Cinemática.

La velocidad del punto \( Q \) es \( v_Q=v=\omega\left(\dfrac{R}{2}+R\right) \)

La velocidad del punto \( O \) es \( v_O=\omega\dfrac{R}{2} \)

Igualando la velocidad angular, obtenemos \( v_O=\dfrac{v}{3} \)

Dinámica de rotación aplicada al punto \( p \):

\( I_p=I_O+m\left(\dfrac{R}{2}\right)^2=I_O+\dfrac{mR^2}{4} \)

\( \sum{M_p}=\left(I_O+\dfrac{mR^2}{4}\right)\alpha \)

\( mg\sin\theta\dfrac{R}{2}=\left(I_O+\dfrac{mR^2}{4}\right)\dfrac{a}{R/2} \)

Despejando,

\( a=\dfrac{g\sin\theta}{1+\dfrac{4I_O}{mR^2}} \)

Aplico al punto \( O \), \( v_f^2=v_i^2-2a\Delta x \). Sustituyendo \( v_f=0 \), \( v_i=\dfrac{v}{3} \), el valor de \( a \) y despejando,

\( \Delta x=\dfrac{v^2}{18g\sin\theta}\left(1+\dfrac{4I_O}{mR^2}\right) \)

Según este resultado, la respuesta correcta es la a).

Saludos cordiales,
JCB.