Hola
Tengo esta definición y me pide demostrar algo que no entiendo. Dice
Sea \( V \) espacio vectorial, \( W_1 \) subespacio vectorial de \( V \)
\( T: V\rightarrow{V} \), \( T \) una funcion
\( T \) se llama proyeccion sobre \( W_1 \) si:
a) Existe un subespacio \( W_2 \) tal que:
\( V=W_1\oplus W_2 \)
b) Para \( X=X_1+X_2 \) donde \( X_1 \in W_1 \) y \( X_2 \in W_2 \) se tiene:
\( T(X)=X_1 \)
Demuestre que \( T \) es lineal y \( W_1=\{X/T(X)=X\} \)
Cómo se resuelve?
Para ver que es lineal tienes que comprobar que dados \( \vec u,\vec v\in V \) y \( a,b\in K \) se cumple que:
\( T(a\vec u+b\vec v)=aT(\vec u)+bT(\vec v) \)
Para ello ten en cuenta que dado que \( V=W_1\oplus W_2 \) cada vector se descompone de manera única como suma de uno de \( W_1 \) y otro de \( W_2 \)
\( \vec u=\vec u_1+\vec u_2,\qquad \vec u_1\in W_1,\, \vec u_2\in W_2 \)
\( \vec v=\vec v_1+\vec v_2,\qquad \vec v_1\in W_1,\, \vec v_2\in W_2 \)
y que por (b) si \( \vec x=\vec x_1+\vec x_2 \), con \( \vec x_1\in W_1 \) y \( \vec x_2\in W_2 \) entonces \( T(\vec x)=\vec x_1 \).
Para la segunda parte simplemente ten en cuenta que por (b) (con la notación indicada):
\( T(\vec x)=\vec x\quad \Longleftrightarrow{}\quad \vec x_1=\vec x \)
Saludos.
