[megasaw]

Saludos a todos, tengo este ejercicio que me tiene loco. Dice:

\(  T: \mathbb{R^2}\rightarrow{\mathbb{R^3}} \) Lineal
\(  T(1,1)=(1,0,2)  \)
\(  T(2,3)=(1,-1,4)  \)

¿Qué es \(  T(8,11) \)? ¿Existe tal transformacion lineal?
Hasta donde sé habría que comprobar si existe una base, y luego comprobar si se genera \(  T(8,11) \) pero no sé cómo hacerlo.

[Luis Fuentes]

Hola

Saludos a todos, tengo este ejercicio que me tiene loco. Dice:

\(  T: \mathbb{R^2}\rightarrow{\mathbb{R^3}} \) Lineal
\(  T(1,1)=(1,0,2)  \)
\(  T(2,3)=(1,-1,4)  \)

¿Qué es \(  T(8,11) \)? ¿Existe tal transformacion lineal?
Hasta donde sé habría que comprobar si existe una base,

Esa frase tal como está escrita no tiene mucho sentido; todo espacio vectorial tiene alguna base.

Lo que se tiene es que una aplicación lineal queda inequívocamente determinada si se conocen las imágenes de los vectores de una base.

Dado que \( dim(\mathbb{R}^2)=2 \) y \( \{(1,1),(2,3)\} \) son independientes forman base, y estamos justo en las condiciones que nos aseguran la existencia de la aplicación.

En particular para saber la imagen de cualquier vector \( (x,y) \) tenemos que hallar \( a,b \) tales que:

\( (x,y)=a(1,1)+b(2,3) \)

y usar la linealidad:

\( T(x,y)=aT(1,1)+bT(2,3) \)

Saludos.